Question

【题目】如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，交斜边AC于点D，点E为OB的中点，连接CE并延长交⊙O于点F，点F恰好落在 的中点，连接AF并延长与CB的延长线相交于点G，连接OF．
（1）求证：OF= BG；
（2）若AB=4，求DC的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，点F恰好落在 的中点，

∴ = ，

∴∠AOF=∠BOF，

∵∠ABC=∠ABG=90°，

∴∠AOF=∠ABG，

∴FO∥BG，

∵AO=BO，

∴FO是△ABG的中位线，

∴FO= BG

（2）解：在△FOE和△CBE中，

，

∴△FOE≌△CBE（ASA），

∴BC=FO= AB=2，

∴AC= =2 ，

连接DB，

∵AB为⊙O直径，

∴∠ADB=90°，

∴∠ADB=∠ABC，

∵∠BCD=∠ACB，

∴△BCD∽△ACB，

∴ = ，

∴ = ，

解得：DC= ．

【解析】（1）直接利用圆周角定理结合平行线的判定方法得出FO是△ABG的中位线，即可得出答案；（2）首先得出△FOE≌△CBE（ASA），则BC=FO= AB=2，进而得出AC的长，再利用相似三角形的判定与性质得出DC的长．