Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y= x与反比例函数y= 在第一象限内的图象相交于点A（m，3）．

（1）求该反比例函数的关系式；
（2）将直线y= x沿y轴向上平移8个单位后与反比例函数在第一象限内的图象相交于点B，连接AB，这时恰好AB⊥OA，求tan∠AOB的值；

（3）在（2）的条件下，在射线OA上存在一点P，使△PAB∽△BAO，求点P的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵点A（m，3）在直线y= x上

∴3= m，

∴m=3 ，

∴点A（3 ，3），

∵点A（3 ，3）在反比例函数y= 上，

∴k=3 ×3=9 ，

∴y=

（2）

解：直线向上平移8个单位后表达式为：y= x+8

∵AB⊥OA，直线AB过点A（3 ，3）

∴直线AB解析式：y=﹣ x+12，

∴ x+8=﹣ x+12，

∴x= ．

∴B（ ，9），

∴AB=4

在Rt△AOB中，OA=6，

∴tan∠AOB=

（3）

解：∵△APB∽△ABO，

∴ ，

由（2）知，AB=4 ，OA=6

即

∴AP=8，

∵OA=6，

∴OP=14，

过点A作AH⊥x轴于H

∵A（3 ，3），

∴OH=3 ，AH=3，

在Rt△AOH中，

∴tan∠AOH= = = ，

∴∠AOH=30°

过点P作PG⊥x轴于G，

在Rt△APG中，∠POG=30°，OP=14，

∴PG=7，OG=7

∴P（7 ，7）．

【解析】（1）先确定出点A坐标，再用待定系数法求出反比例函数解析式；（2）先求出直线AB解析式，进而得出点B坐标秒即可得出结论；（3）利用相似三角形的性质得出AP，进而求出OP，再求出∠AOH=30°，最后用含30°的直角三角形的性质即可得出结论．