Question

【题目】如图1．在菱形ABCD中，AB=2 ，tan∠ABC=2，∠BCD=α，点E从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿着射线DA的方向匀速运动，设运动时间为t（秒），将线段CE绕点C顺时针旋转α度，得到对应线段CF，连接BD、EF，BD交EC、EF于点P、Q．

（1）求证：△ECF∽△BCD；
（2）当t为何值时，△ECF≌△BCD？
（3）当t为何值时，△EPQ是直角三角形？

Answer 1

【答案】
（1）

证明：菱形ABCD中，BC=CD，

由旋转的性质可知，CE=CF，

∴ = ，

又∵∠FCE=∠DCB=α，

∴△FCE∽△DCB

（2）

由（1）知，△FCE∽△DCB，

∴当CE=CB=CD时，△FCE≌△DCB；

①E、D重合，此时t=0；

②如图，过点C作CM⊥AD，

当EM=MD时，EC=CD，

Rt△CMD中，MD=CDcos∠CDA=2 × =2，

∴t=ED=2MD=4，

∴当t=0或4时，△FCE≌△DCB

（3）

∵CE=CF，∴∠CEQ＜90°．

①当∠EQD=90°时，

∠ECF=∠BCD，BC=DC，EC=FC，

∴∠CBD=∠CEF，

∵∠BPC=∠EPQ，

∴∠BCP=∠EQP=90°．

在Rt△CDE中，∠CED=90°，

∵AB=CD=2 ，tan∠ABC=tan∠ADC=2，

∴DE=2，

∴t=2秒；

②当∠EPQ=90°时，

∵菱形ABCD对角线AC⊥BD，

∴EC和AC重合．

∴DE=2 ，

∴t=2 秒；

∴当t=2或者2 时，△APQ为直角三角形．

【解析】（1）根据对应边成比例、夹角相等的两个三角形相似证明；（2）根据全等三角形的性质、余弦的概念计算；（3）分∠EQD=90°、∠EPQ=90°两种情况，根据正切的概念、菱形的性质解答．
【考点精析】解答此题的关键在于理解相似图形的相关知识，掌握形状相同，大小不一定相同（放大或缩小）;判定:①平行；②两角相等；③两边对应成比例，夹角相等；④三边对应成比例．