Question

【题目】如图，已知抛物线y=﹣ x2+bx+c交x轴于点A（2，0）、B（一8，0），交y轴于点C，过点A、B、C三点的⊙M与y轴的另一个交点为D．

（1）求此抛物线的表达式及圆心M的坐标；
（2）设P为弧BC上任意一点（不与点B，C重合），连接AP交y轴于点N，请问：APAN是否为定值，若是，请求出这个值；若不是，请说明理由；
（3）延长线段BD交抛物线于点E，设点F是线段BE上的任意一点（不含端点），连接AF．动点Q从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到点F，再沿线段FB以每秒 个单位的速度运动到点B后停止，问当点F的坐标是多少时，点Q在整个运动过裎中所用时间最少？

Answer 1

【答案】
（1）

解：抛物线解析式为y=﹣ （x+8）（x﹣2），

即y=﹣ x2﹣ x+4；

当x=0时，y=﹣ x2﹣ x+4=4，则C（0，4）

∴BC=4 ，AC=2 ，AB=10，

∵BC2+AC2=AB2，

∴△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°，

∴AB为直径，

∴圆心M点的坐标为（﹣3，0）

（2）

解：以APAN为定值．理由如下：

如图1，

∵AB为直径，

∴∠APB=90°，

∵∠APB=∠AON，∠NAO=∠BAP，

∴△APB∽△AON．

∴AN：AB=AO：AP，

∴ANAP=ABAO=20，

所以APAN为定值，定值是20

（3）

解：∵AB⊥CD，

∴OD=OC=4，则D（0，﹣4），

易得直线BD的解析式为y=﹣ x﹣4，

过F点作FG⊥x轴于G，如图2，

∵FG∥OD，

∴△BFG∽△BDO，

∴ = ，即 = = = ，

∴点Q沿线段FB以每秒 个单位的速度运动到点B所用时间

等于点Q以每秒1个单位的速度运动到G点的时间，

∴当AF+FG的值最小时，点Q在整个运动过裎中所用时间最少，

作∠EBI=∠ABE，BI交y轴于I，

作FH⊥BI于H，则FH=FG，

∴AF+FG=AF+FH，

当点A、F、H共线时，AF+FH的值最小，此时AH⊥BI，如图2，

作DK⊥BI，垂足为K，

∵BE平分∠ABI，

∴DI=DO=4，

设DI=m，

∵∠DIK=∠BIO，

∴△IDK∽△IBO，

∴ = = = ，

∴BI=2m，

在Rt△OBI中，82+（4+m）2=（2m）2，解得m1=4（舍去），m2= ，

∴I（0，﹣ ），

设直线BI的解析式为y=kx+n，

把B（﹣8，0），I（0，﹣ ）代入得 ，解得 ，

∴直线BI的解析式为y=﹣ x﹣ ，

∵AH⊥BI，

∴直线AH的解析式可设为y= x+q，

把A（2，0）代入得 +q=0，解得q=﹣ ，

∴直线AH的解析式为y= x﹣ ，

解方程组 ，解得 ，

∴F（﹣2，﹣3），

即当点F的坐标是（﹣2，﹣3）时，点Q在整个运动过裎中所用时间最少．

【解析】（1）利用交点式可写出抛物线解析式为y=﹣ x2﹣ x+4，再求出C点坐标，然后利用勾股定理的逆定理证明△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°，则根据圆周角定理的推论可判断AB为直径，从而得到圆心M点的坐标；（2）如图1，利用圆周角定理得到∠APB=90°，则可证明△APB∽△AON．然后利用相似比可得到ANAP=20，即APAN为定值；（3）先根据垂径定理得到OD=OC=4，则D（0，﹣4），易得直线BD的解析式为y=﹣ x﹣4，过F点作FG⊥x轴于G，如图2，通过证明△BFG∽△BDO得到 = = ，则点Q沿线段FB以每秒 个单位的速度运动到点B所用时间等于点Q以每秒1个单位的速度运动到G点的时间，于是判断当AF+FG的值最小时，点Q在整个运动过裎中所用时间最少，作∠EBI=∠ABE，BI交y轴于I，作FH⊥BI于H，则FH=FG，当点A、F、H共线时，AF+FH的值最小，此时AH⊥BI，如图2，作DK⊥BI，垂足为K，设DI=m，证明△IDK∽△IBO得到BI=2m，
则利用勾股定理得到82+（4+m）2=（2m）2 ， 解得m1=4（舍去），m2= ，从而得到I（0，﹣ ），接下来利用待定系数法确定直线BI的解析式为y=﹣ x﹣ ，再确定直线AH的解析式，然后求直线BE和AH的交点坐标即可．