Question

【题目】如图①，在正方形ABCD中，点P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PC=PE，PE交CD于点F．

(1)求证：∠PCD=∠PED；

(2)连接EC，求证：EC=AP；

(3)如图②，把正方形ABCD改成菱形ABCD，其他条件不变，当∠DAB=60°时，请直接写出线段EC和AP的数量关系______．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）AP=CE．

【解析】

（1）根据正方形性质知道PC=PA，又由PE=PC知道PA=PE即可得出结论．

（2）证明△PEC为等腰直角三角形，即可得出结论．

（3）根据（2）的思路和方法即可求出结论AP=CE．

（1）证明：在正方形ABCD中，AD=DC，

∠ADP=∠CDP=45°，

在△ADP和△CDP中，AD=DC；∠ADP=∠CDP；PD=PD，

∴△ADP≌△CDP（SAS），

∴∠DAP=∠DCP，PA=PC；

∵PC=PE，

∴PA=PE,

∴∠DAP=∠DEP，

∴∠DCP=∠DAP=∠DEP．

（2）由（1）知，△ABP≌△CBP，

∴∠BAP=∠BCP，

∴∠DAP=∠DCP，

∵PA=PE，

∴∠DAP=∠E，

∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等），

∴180°-∠PFC-∠PCF=180°-∠DFE-∠E，

即∠CPF=∠EDF=90°；

∴△CPE是等腰直角三角形，

∴EC=CP，

又∵AP=CP，

∴EC=AP．

（3）AP=CE；理由如下：

在菱形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP=60°，

在△ABP和△CBP中，AB=BC；∠ABP=∠CBP；PB=PB，

∴△ABP≌△CBP（SAS），

∴PA=PC，∠BAP=∠BCP，

∵PA=PE，

∴PC=PE，

∴∠DAP=∠DCP，

∵PA=PC，

∴∠DAP=∠AEP，

∴∠DCP=∠AEP，

∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等），

∴180°-∠PFC-∠PCF=180°-∠DFE-∠AEP，

即∠CPF=∠EDF=180°-∠ADC=180°-120°=60°，

∴△EPC是等边三角形，

∴PC=CE，

∴AP=CE．