Question

【题目】如图1，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=5，OC=4．

（1）在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处，求D，E两点的坐标；

（2）如图2，若AE上有一动点P（不与A，E重合）自A点沿AE方向E点匀速运动，运动的速度为每秒1个单位长度，设运动的时间为t秒（0＜t＜5），过P点作ED的平行线交AD于点M，过点M作AE平行线交DE于点N．求四边形PMNE的面积S与时间t之间的函数关系式；当t取何值时，s有最大值，最大值是多少？

（3）在（2）的条件下，当t为何值时，以A，M，E为顶点的三角形为等腰三角形，并求出相应的时刻点M的坐标？

Answer 1

【答案】（1）D（0，2.5），E（2，4）；（2）S =﹣0.5t2+2.5t，当t=2.5时，S矩形PMNE有最大值；（3）t=2.5或t=2时，以A，M，E为顶点的三角形为等腰三角形，M点的坐标为（2.5，1.25）或（5﹣2，）．

【解析】试题分析：（1）根据折叠的性质可知：AE=OA，OD=DE，那么可在直角三角形ABE中，用勾股定理求出BE的长，进而可求出CE的长，也就得出了E点的坐标．在直角三角形CDE中，CE长已经求出，CD=OC-OD=4-OD，DE=OD，用勾股定理即可求出OD的长，也就求出了D点的坐标．

（2）很显然四边形PMNE是个矩形，可用时间t表示出AP，PE的长，然后根据相似三角形APM和AED求出PM的长，进而可根据矩形的面积公式得出S，t的函数关系式，根据函数的性质即可得出S的最大值及对应的t的值．

（3）本题要分两种情况进行讨论：

①ME=MA时，此时MP为三角形ADE的中位线，那么AP=，据此可求出t的值，过M作MF⊥OA于F，那么MF也是三角形AOD的中位线，M点的横坐标为A点横坐标的一半，纵坐标为D点纵坐标的一半．由此可求出M的坐标．

②当MA=AE时，先在直角三角形OAD中求出斜边AD的长，然后根据相似三角形AMP和ADE来求出AP，MP的长，也就能求出t的值．根据折叠的性质，此时AF=AP，MF=MP，也就求出了M的坐标．

试题解析：

（1）依题意可知，折痕AD是四边形OAED的对称轴，

∴在Rt△ABE中，AE=AO=5，AB=4．

BE==3．

∴CE=2．

∴E点坐标为（2，4）．

在Rt△DCE中，DC2+CE2=DE2，

又∵DE=OD．

∴（4﹣OD）2+22=OD2．

解得：OD=2.5．

∴D点坐标为（0，2.5）．

（2）如图②∵PM∥ED，

∴△APM∽△AED．

∴，

又知AP=t，ED=2.5，AE=5，PM=0.5t×2.5=0.5t，

又∵PE=5﹣t．

而显然四边形PMNE为矩形．

S矩形PMNE=PMPE=0.5t×（5﹣t）=﹣0.5t2+2.5t；

∴S四边形PMNE=﹣0.5（t﹣2.5）2+ ，

又∵0＜2.5＜5．

∴当t=2.5时，S矩形PMNE有最大值．

（3）（i）若以AE为等腰三角形的底，则ME=MA（如图①）

在Rt△AED中，ME=MA，

∵PM⊥AE，

∴P为AE的中点，

∴t=AP=0.5AE=2.5．

又∵PM∥ED，

∴M为AD的中点．

过点M作MF⊥OA，垂足为F，则MF是△OAD的中位线，

∴MF=0.5OD=1.25，OF=0.5OA=2.5，

∴当t=2.5时，（0＜2.5＜5），△AME为等腰三角形．

此时M点坐标为（2.5，1.25）．

（ii）若以AE为等腰三角形的腰，则AM=AE=5（如图②）

在Rt△AOD中，AD===．

过点M作MF⊥OA，垂足为F．

∵PM∥ED，

∴△APM∽△AED．

∴．

∴t=AP== = ，

∴PM=t=．

∴MF=MP=，OF=OA﹣AF=OA﹣AP=5﹣2，

∴当t=2时，（0＜2＜5），此时M点坐标为（5﹣2， ）．

综合（i）（ii）可知，t=2.5或t=2时，以A，M，E为顶点的三角形为等腰三角形，

相应M点的坐标为（2.5，1.25）或（5﹣2， ）．

点睛:本题主要考查了矩形的性质,勾股定理,图形的翻折变换,相似三角形的判定和性质以及二次函数的综合应用等知识点,综合性较强.