Question

【题目】如图，∠MON=90°，点A、B分别在OM、ON上运动（不与点O重合）．

(1)如图①，BC是∠ABN的平分线，BC的反方向延长线与∠BAO的平分线交于点D.

①若∠BAO=60°，则∠D的大小为 度，

②猜想：∠D的度数是否随A、B的移动发生变化？请说明理由．

(2)如图②，若∠ABC=∠ABN, ∠BAD=∠BAO，则∠D的大小为 度，若∠ABC=∠ABN, ∠BAD=∠BAO，则∠D的大小为 度（用含n的代数式表示）．

Answer 1

【答案】（1）① 45，②否，理由见解析；（2）30°，.

【解析】

（1）①先求出∠ABN=150°，再根据角平分线得出∠CBA=∠ABN=75°、∠BAD=∠BAO=30°，最后由外角性质可得∠D度数；

②设∠BAD=α，利用外角性质和角平分线性质求得∠ABC=45°+α，利用∠D=∠ABC-∠BAD可得答案；

（2）设∠BAD=α，得∠BAO=3α，继而求得∠ABN=90°+3α、∠ABC=30°+α，根据∠D=∠ABC-∠BAD可得答案；设∠BAD=β，分别求得∠BAO=nβ、∠ABN=∠AOB+∠BAO=90+nβ、∠ABC=+β，由∠D=∠ABC-∠BAD得出答案．

（1）①∵∠BAO=60°、∠MON=90°，

∴∠ABN=150°，

∵BC平分∠ABN、AD平分∠BAO，

∴∠CBA=∠ABN=75°，∠BAD=∠BAO=30°，

∴∠D=∠CBA-∠BAD=45°，

故答案为：45；

②∠D的度数不变．

理由：设∠BAD=α．

∵AD平分∠BAO，

∴∠BAO=2α．

∵∠ABN=∠AOB+∠BAO，

∴∠ABN =90°+2α．

∵BC平分∠ABN，

∴∠ABC=∠ABN=(90°+2α) =45°+α．

∵∠D=∠ABC-∠BAD，

∴∠D =45°+α-α=45°．

（2）设∠BAD=α，

∵∠BAD=∠BAO，

∴∠BAO=3α，

∵∠AOB=90°，

∴∠ABN=∠AOB+∠BAO=90°+3α，

∵∠ABC=∠ABN，

∴∠ABC=30°+α，

∴∠D=∠ABC-∠BAD=30°+α-α=30°，

设∠BAD=β，

∵∠BAD=∠BAO，

∴∠BAO=nβ，

∵∠AOB=90°，

∴∠ABN=∠AOB+∠BAO=90°+nβ，

∵∠ABC=∠ABN，

∴∠ABC=+β，

∴∠D=∠ABC-∠BAD=+β-β=.