Question

【题目】已知：在△AOB与△COD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=90°．

（1）如图1，点C、D分别在边OA、OB上，连结AD、BC，点M为线段BC的中点，连结OM，则请你判断线段AD与OM之间的数量关系,并加以证明．

（2）如图2，将图1中的△COD绕点O逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜90°）．连结AD、BC，点M为线段BC的中点，连结OM．请你判断（1）中的结论是否仍然成立．若成立，请证明；若不成立，请说明理由；

（3）如图3，将图1中的△COD绕点O逆时针旋转到使△COD的一边OD恰好与△AOB的边OA在同一条直线上时，点C落在OB上，点M为线段BC的中点．请你判断（1）中线段AD与OM之间的数量关系是否发生变化，写出你的猜想，并加以证明．

Answer 1

【答案】（1）OM＝ ，理由见解析；（2）成立，理由见解析；（3）不变化，理由见解析

【解析】分析：（1）AD与OM之间的数量关系为AD=2OM；

（2）（1）中的结论仍然成立，理由为：如图2所示，延长BO到F，使FO=BO，连接CF，由M、O分别为BC、BF的中点，得到OM为三角形BCF的中位线，利用中位线定理得到FC=2OM，利用SAS得到三角形AOD与三角形FOC全等，利用全等三角形的对应边相等得到FC=AD，等量代换得到AD=2OM；

（3）（1）中线段AD与OM之间的数量关系没有发生变化，理由为：如图3所示，延长DC交AB于E，连结ME，过点E作EN⊥AD于N，由三角形COD与三角形AOB都为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质得到四个角为45度，进而得到三角形MCE与三角形AED为等腰直角三角形，根据EN为直角三角形ADE斜边上的中线得到AD=2EN，再利用三个角为直角的四边形为矩形得到四边形OMEN为矩形，可得出EN=OM，等量代换得到AD=2OM．

详解：（1）线段AD与OM之间的数量关系是AD=2OM；

（2）（1）的结论仍然成立，理由为：

证明：如图2，延长BO到F，使FO=BO，连结CF．

∵M为BC中点，O为BF中点，∴MO为△BCF的中位线，∴FC=2OM．

∵∠AOB=∠AOF=∠COD=90°，∴∠AOB+∠BOD=∠AOF+∠AOC，即∠AOD=∠FOC．在△AOD和△FOC中， ，∴△AOD≌△FOC（SAS），∴FC=AD，∴AD=2OM．

（3）（1）中线段AD与OM之间的数量关系没有发生变化，理由为：

证明：如图3，延长DC交AB于E，连结ME，过点E作EN⊥AD于N．

∵OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=90°，∴∠A=∠D=∠B=∠BCE=∠DCO=45°，∴AE=DE，BE=CE，∠AED=90°，∴DN=AN，∴AD=2NE．

∵M为BC的中点，∴EM⊥BC，∴四边形ONEM是矩形，∴NE=OM，∴AD=2OM．

故答案为：AD=2OM．