Question

【题目】如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE= AC，连接AE交OD于点F，连接CE、OE．
（1）求证：OE=CD；
（2）若菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60°，求AE的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：四边形ABCD是菱形，

∴OA=OC= AC，AD=CD，

∵DE∥AC且DE= AC，

∴DE=OA=OC，

∴四边形OADE、四边形OCED都是平行四边形，

∴OE=AD，

∴OE=CD；

（2）解：∵AC⊥BD，

∴四边形OCED是矩形，

∵在菱形ABCD中，∠ABC=60°，

∴AC=AB=2，

∴在矩形OCED中，CE=OD= = ．

∴在Rt△ACE中，AE= = ．

【解析】（1）由菱形ABCD中，DE∥AC且DE= AC，易证得四边形OCED是平行四边形，继而可得OE=CD即可；（2）由菱形的对角线互相垂直，可证得四边形OCED是矩形，根据菱形的性质得出AC=AB，再根据勾股定理得出AE的长度即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解菱形的性质的相关知识，掌握菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形被两条对角线分成四个全等的直角三角形；菱形的面积等于两条对角线长的积的一半，以及对矩形的性质的理解，了解矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等．