Question

【题目】已知：如图，在△ABC中，AB=AC，D为边BC上一点，以AB，BD为邻边作平行四边形ABDE，连接AD，EC．

（1）求证：△ADC≌△ECD；
（2）当点D在什么位置时，四边形ADCE是矩形，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵四边形ABDE为平行四边形，
∴AB=DE，∠ABD=∠AED，AE∥BD，
∴∠AED=∠CDE，
又∵AB=AC，
∴∠ABD=∠ACD，AC=DE，
∴∠ACD=∠AED，
∴∠ACD=∠CDE，
在△ADC和△ECD中，
∵，
∴△ADC≌△ECD；

（2）解：当点D在BC中点时，四边形ADCE是矩形；理由如下：
∵D为BC中点，
∴BD=CD，
又∵四边形ABDE为平行四边形，
∴AE∥BD，AE=BD，AB=DE，
∴AE∥CD，AE=CD，
∴四边形ADCE为平行四边形，
又∵AB=AC，
∴AC=DE，
∴平行四边形ADCE为矩形.

【解析】（1）由平行四边形的性质得出AB=DE，∠ABD=∠AED，AE∥BD，再由平行线的性质得出∠AED=∠CDE，又由等腰三角形的性质得出∠ABD=∠ACD，根据等量代换得出AC=DE，∠ACD=∠AED=∠CDE，再由全等三角形的判定SAS得证.
（2）当点D在BC中点时，四边形ADCE是矩形；理由如下：由D为BC中点得出BD=CD；由平行四边形的性质得出AE∥BD，AE=BD，AB=DE；由等量代换得出AE∥CD，AE=CD，根据平行四边形的判定得出四边形ADCE为平行四边形，再由对角线相等的平行四边形为矩形.
【考点精析】本题主要考查了等腰三角形的性质和平行四边形的判定与性质的相关知识点，需要掌握等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）；若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，并且这两条直线二等分此平行四边形的面积才能正确解答此题．