Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2－2mx＋m－1(m＞0)与x轴的交点为A，B，顶点为C，将抛物线在A，C，B之间的部分记为图象E(A，B两点除外)．

(1)求抛物线的顶点坐标．

(2)AB＝6时，经过点C的直线y＝kx＋b(k≠0)与图象E有两个交点，结合函数的图象，求k的取值范围．

(3)若横、纵坐标都是整数的点叫整点．

①当m＝1时，求线段AB上整点的个数；

②若抛物线在点A，C，B之间的图象E与线段AB所围成的区域内(包括边界)恰有6个整点，结合函数的图象，求m的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）C(1，－1). （2）＜k＜0，或0＜k＜.（3）3个或5个；＜m≤ .

【解析】试题分析：（1）利用配方法将抛物线解析式变形为顶点式即可得到顶点坐标；（2）当AB＝6时，抛物线与x轴的两个交点分别是(－2，0)，(4，0)，又因为顶点为(－1，1)，当直线经过C与A，C与B时，分别解得k＝± ，即可得k的取值范围；（3）①当时m＝1，抛物线表达式为y＝x2－2x，令y=0，解方程即可得到点A、点B的坐标，再数出线段上的整点数即可；②抛物线顶点为(1，－1)，则指定区域的整点的纵坐标只能为－1或者0，所以即要求AB线段上(含AB两点)必须有5个整点；令抛物线解析式为0，,解方程得到用m表示的点、横坐标，根据题意得不等式解之即可.

试题解析：

⑴原抛物线解析式为y＝mx2－2mx＋m－1(m＞0)，提取公因式并配方得 ，所以该抛物线的顶点坐标为 (1，－1)；

⑵AB＝6时，抛物线与x轴的两个交点分别是(－2，0)，(4，0)，又因为顶点为(－1，1)，当直线经过C与A，C与B时，分别解得k＝，所以k的取值范围为＜k＜0，或0＜k＜.

⑶①当m＝1时，抛物线表达式为y＝x2－2x，因此A、B的坐标分别为(0，0)和(2，0)，则线段AB上的整点有(0，0)，(1，0)，(2，0)共3个.

②抛物线顶点为(1，－1)，则指定区域的整点的纵坐标只能为－1或者0，所以即要求AB线段上(含AB两点)必须有5个整点；

令y＝mx2－2mx＋m－1＝0，得到A、B两点坐标分别为(，0)，(，0)，即5个整点是以(1，0)为中心向两侧分散，

进而得到2≤＜3，所以＜m≤ .