Question

【题目】如图，在△ABC中，∠B=90°，以AB为直径的⊙O交AC于D，过点D作⊙O的切线交BC于E，AE交⊙O于点F．
（1）求证：E是BC的中点；
（2）求证：ADAC=AEAF=4DO2 ．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接BD，如下图所示，

∵AB是⊙O的直径，

∴BD⊥AC，

又∵∠ABC=90°，

∴CB切⊙O于点B，且ED且⊙O于点E，

∴EB=ED，

∴∠EBD=∠EDB，∠CDE+∠EDB=90°=∠EBD+∠C，

∴∠CDE=∠C，

∴ED=EC，

∴EB=EC，

即点E是BC的中点

（2）证明：∵AB=2OD，

∴AB2=4OD2，

连接BF，

由上图所示，

∵AB是⊙O的直径，

∴BF⊥AE，

∴△ABE∽△AFB，

∴ ，

∴AB2=AEAF，

同理可得，AB2=ADAC，

∴AB2=ADAC=AEAF，

即ADAC=AEAF=4DO2．

【解析】（1）要想证明E是BC的中点，只要证明CE=BE即可，根据已知条件可以得到DE=EC，DE=BE，从而本题得以解决；（2）根据题意可知AB=2OD，只要证明ADAC=AEAF=AB2即可，然后根据三角形相似可以证明结论成立，本题得以解决．
【考点精析】掌握切线的性质定理和相似三角形的判定与性质是解答本题的根本，需要知道切线的性质：1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径；相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．