Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，开口向下的抛物线y=ax2+bx+c交y轴于A点，交x轴于B、C两点（点B在点C的左侧）．已知A点坐标为（0，﹣5），BC=4，抛物线过点（2，3）．

（1）求此抛物线的解析式；
（2）记抛物线的顶点为M，求△ACM的面积；
（3）在抛物线上是否存在点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由点A的坐标为（0，﹣5）可知c=﹣5，

又∵抛物线经过点（2，3），

∴4a+2b﹣5=0①，

设B（x1，0），C（x2，0），则（x1﹣x2）2=16．即（x1+x2）2﹣2x1x2=16．

∵x1+x2=﹣ ，x1x2= ，

∴ + =16②．

将方程①与方程②联立，解得：a=﹣1，b=6．

∴抛物线的解析式为y=﹣x2+6x﹣5

（2）

解：如图1所示：记AM与x轴的交点坐标为D．

∵y=﹣x2+6x﹣5=﹣（x﹣3）2+4，

∴点M的坐标为（3，4）．

设直线AM的解析式为y=kx+b．

∵将A（0，﹣5）、M（3，4）代入得 ，解得：k=3，b=﹣5，

∴直线AM的解析式为y=3x﹣5．

∵令y=0得：3x﹣5=0．解得：x= ，

∴D（ ，0）．

∵令抛物线的y=0得：﹣x2+6x﹣5=0，解得x1=1，x2=5，

∴C（5，0）．

∴S△ACM=S△CDA+S△CDM= ×（5﹣ ）×（4+5）=15

（3）

解：①当∠PCA=90°时，如图2所示：过点C作CP⊥AC，交抛物线与点P．

设AC的解析式为y=kx+b．

∵将点A、C的坐标代入得： ，解得：k=1，b=﹣5，

∴直线AC的解析式为y=x﹣5．

设PC的解析式为y=k1x+b1．

∵PC⊥AC，

∴k1=﹣1．

∴直线PC的解析式为y=﹣x+b1．

∵将C（5，0）代入得：﹣5+b=0，解得；b=5，

∴PC的解析式为y=﹣x+5．

∵将y=﹣x+5代入y=﹣x2+6x﹣5得：﹣x2+6x﹣5=﹣x+5，整理得：x2﹣7x+10=0，解得；x1=2，x2=5（舍去）．

∴点P的坐标为（2，3）

②当∠PAC=90°时，如图3所示：

∵AP⊥AC，A（0，﹣5）

∴AP的解析式为y=﹣x﹣5．

将y=﹣x﹣5代入y=﹣x2+6x﹣5得：﹣x2+6x﹣5=﹣x﹣5，整理得：x2﹣7x=0，解得；x1=7，x2=0（舍去）．

∴点P的坐标为（7，﹣12）．

综上所述点P的坐标为（2，3）或（7，12）

【解析】（1）由点A的坐标可求得c的值，将（2，3）代入抛物线的解析式得到关于a、b的二元一次方程，设B（x1 ， 0），C（x2 ， 0），由题意可得到（x1﹣x2）2=16．结合一元二次方程根与系数的关系可得到关于a、b的另一个方程，将两个方程联立可求得a、b的值，从而得到抛物线的解析式；（2）记AM与x轴的交点坐标为D．先求得点M的坐标，从而可求得AM的解析式，然后再求得点D的坐标，最后依据S△ACM=S△CDA+S△CDM求解即可；（3）先求得AC的解析式，①当∠PCA=90°时，可求得PC的解析式，然后求得PC与抛物线的交点坐标即可；②当∠PAC=90°时，可求得PC的解析式然后求得PC与抛物线的交点坐标即可．
【考点精析】认真审题，首先需要了解二次函数的图象(二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点)，还要掌握二次函数的性质(增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小)的相关知识才是答题的关键．