Question

【题目】如图，在△ABC中，CD是AB边上的中线，F是CD的中点，过点C作AB的平行线交BF的延长线于点E，连接AE.

（1）求证：EC=DA;
（2）若AC⊥CB，试判断四边形AECD的形状，并证明你的结论.

Answer 1

【答案】
（1）

证明：∵EC∥AB，

∴∠FEC=∠DBF，∠ECF=∠BDF，

∵F是CD的中点，

∴FD=CF，

在△FEC与△DBF中，

∴△FEC≌△DBF，

∴EC=BD，

又∵CD是AB边上的中线，

∴BD=AD，

∴EC=AD．

（2）

解：

四边形AECD是菱形．

证明：∵EC=AD，EC∥AD，

∴四边形AECD是平行四边形，

∵AC⊥CB，CD是AB边上的中线，

∴CD=AD=BD，

∴四边形AECD是菱形．

【解析】（1）根据平行线的性质得出∠FEC=∠DBF，∠ECF=∠BDF，F是CD的中点，得出FD=CF，再利用AAS证明△FEC与△DBF全等，进一步证明即可；
（2）利用直角三角形的性质：斜边上的中线等于斜边的，得出CD=DA，进一步得出结论即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解菱形的判定方法的相关知识，掌握任意一个四边形，四边相等成菱形；四边形的对角线，垂直互分是菱形．已知平行四边形，邻边相等叫菱形；两对角线若垂直，顺理成章为菱形．