Question

【题目】如图所示，抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（﹣2，0）、B（4，0），其顶点为D，连接BD，点P是线段BD上的一个动点（不与B、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足为E，连接BE．

（1）求抛物线的解析式，并写出顶点D的坐标；
（2）设P点的坐标为（x，y），△PBE的面积为S，求S与x之间的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并求出S的最大值；
（3）在（2）的条件下，当S取值最大值时，过点P作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，△PEF沿直线EF折叠，点P的对应点为点P′，请直接写出P′点的坐标，并判断点P′是否在该抛物线上.

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵抛物线y=ax2+bx+4（a≠0）经过A（﹣2，0）、B（4，0）两点

∴把（﹣2，0）、B（4，0）代入抛物线得：a=﹣，b=1，

∴抛物线解析式为：y=﹣x2+x+4．

∴顶点D的坐标为（1，）；

（2）

解：设直线BD解析式为：y=kx+b（k≠0），把B、D两点坐标代入，

得，

解得k=﹣，b=6，

直线BD解析式为y=﹣x+6，

S=PEOE，

S=PEOE=xy=x（﹣x+6）=﹣x2+3x，

∵顶点D的坐标为（1，），B（4，0）

∴1＜x＜4，

∴S=﹣x2+3x（1＜x＜4），

S=﹣（x2﹣4x++4）+3，

=﹣（x﹣2）2+3，

∴当x=2时，S取得最大值，最大值为3.

（3）

解：当S取得最大值，x=2，y=3，

∴P（2，3），

∴四边形PEOF是矩形．

作点P关于直线EF的对称点P′，连接P′E，P′F．

过P′作P′H⊥y轴于H，P′F交y轴于点M，

设MC=m，则MF=m，P′M=3﹣m，P′E=2，

在Rt△P′MC中，由勾股定理，

22+（3﹣m）2=m2，

解得m=，

∵CMP′H=P′MP′E，

∴P′H=，

由△EHP′∽△EP′M，

可得=，

∴=，

解得：EH=．

∴OH=3﹣=．

∴P′坐标（﹣，）．不在抛物线上．

【解析】（1）本题需先根据抛物线y=ax2+bx+4（a≠0）经过A（﹣2，0）、B（4，0）两点，分别求出a、b的值，再代入抛物线y=ax2+bx+4即可求出它的解析式．
（2）本题首先设出BD解析式y=kx+b，再把B、D两点坐标代入求出k、b的值，得出BD解析式，再根据面积公式即可求出最大值．
（3）本题需先根据（2）得出最大值来，求出点P的坐标，得出四边形PEOF是矩形，再作点P关于直线EF的对称点P′设出MC=m，则MF=m．从而得出P′M与P′E的值，根据勾股定理，得出m的值，再由△EHP′∽△EP′M，得出EH和OH的值，最后求出P′的坐标，判断出不在抛物线上．