Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，点C是的中点，⊙O的切线BD交AC的延长线于点D，E是OB的中点，CE的延长线交切线BD于点F，AF交⊙O于点H，连接BH．

（1）求证：AC=CD;
（2）若OC=，求BH的长.

Answer 1

【答案】
（1）

证明：连接OC，

∵C是的中点，AB是⊙O的直径，

∴CO⊥AB，

∵BD是⊙O的切线，

∴BD⊥AB，

∴OC∥BD，

∵OA=OB，

∴AC=CD；

（2）

解：∵E是OB的中点，

∴OE=BE，

在△COE和△FBE中，

，

∴△COE≌△FBE（ASA），

∴BF=CO，

∵OB=，

∴BF=，

∴AF==5，

∵AB是直径，

∴BH⊥AF，

∴△ABF∽△BHF，

∴=，

∴ABBF=AFBH，

∴BH===2．

【解析】（1）连接OC，由C是的中点，AB是⊙O的直径，则CO⊥AB，再由BD是⊙O的切线，得BD⊥AB，从而得出OC∥BD，即可证明AC=CD；
（2）根据点E是OB的中点，得OE=BE，可证明△COE≌△FBE（ASA），则BF=CO，即可得出BF=2，由勾股定理得出AF=，由AB是直径，得BH⊥AF，可证明△ABF∽△BHF，即可得出BH的长．
【考点精析】利用切线的性质定理对题目进行判断即可得到答案，需要熟知切线的性质：1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径．