Question

【题目】如图，在边长为2的正方形ABCD中，P是BC边上一动点（点P不与B、C重合），将△ABP沿直线AP翻折，点B落在点E处；在CD上有一点M，使得将△CMP沿直线MP翻折后，点C落在直线PE上的点F处，直线PE交CD于点N，连接MA、NA，则以下结论：①△CMP∽△BPA；②四边形AMCB的面积最大值为2.5；③△ADN≌△AEN；④线段AM的最小值为2.5；⑤当P为BC中点时，AE为线段NP的中垂线．正确的有_____（只填序号）

Answer 1

【答案】①②③④

【解析】分析：①正确．只要证明∠CPM=∠PAB，∠C=∠B=90°，即可；

②正确，设PB=x，构建二次函数，利用二次函数性质解决问题即可；

③正确．根据HL即可证明；

④正确，作MG⊥AB于G，因为AM=，所以AG最小时AM最小，构建二次函数，求得AG的最小值为，AM的最小值为．

⑤错误，设ND=NE=y，在Rt△PCN中，利用勾股定理求出y即可解决问题．

详解：①由翻折可知，∠APE=∠APB，∠MPC=∠MPN，

∴∠APE+∠MPF=∠CPN+∠BPE=90°，

∴∠CPM+∠APB=90°，∵∠APB+∠PAB=90°，

∴∠CPM=∠PAB，∵∠C=∠B=90°，

∴△CMP∽△BPA．故①正确；

②设PB=x，则CP=2-x，

∵△CMP∽△BPA，

∴，，

∴CM=x（2-x），

∴S四边形AMCB= [2+x（2-x）]×2=-x2+x+2=-（x-1）2+2.5，

∴x=1时，四边形AMCB面积最大值为2.5，故②正确；

③在Rt△ADN和Rt△AEN中，

，

∴△ADN≌△AEN．故③正确；

④作MG⊥AB于G，

∵AM=，

∴AG最小时AM最小，

∵AG=AB-BG=AB-CM=2-x（2-x）=（x-1）2+，

∴x=1时，AG最小值=，

∴AM的最小值=，故④正确．

⑤当PB=PC=PE=1时，

由折叠知，ND=NE，

设ND=NE=y，

在Rt△PCN中，（y+1）2=（2-y）2+12解得y=

∴NE=，

∴NE≠EP，故⑤错误，