Question

【题目】如图，在三棱锥A﹣BCD中，E，F分别为BC，CD上的点，且BD∥平面AEF．
（1）求证：EF∥平ABD面；
（2）若AE⊥平面BCD，BD⊥CD，求证：平面AEF⊥平面ACD．

Answer 1

【答案】
（1）证明：（1）∵BD∥平面AEF，BD平面BCD，平面BCD∩平面AEF=EF，

∴BD∥EF，又BD平面ABD，EF平面ABD，

∴EF∥平ABD面．

（2）解：∵AE⊥平面BCD，CD平面BCD，

∴AE⊥CD，

由（1）可知BD∥EF，又BD⊥CD，

∴EF⊥CD，

又AE∩EF=E，AE平面AEF，EF平面AEF，

∴CD⊥平面AEF，又CD平面ACD，

∴平面AEF⊥平面ACD

【解析】（1）利用线面平行的性质可得BD∥EF，从而得出EF∥平面ABD；（2）由AE⊥平面BCD可得AE⊥CD，由BD⊥CD，BD∥EF可得EF⊥CD，从而有CD⊥平面AEF，故而平面AEF⊥平面ACD．
【考点精析】关于本题考查的直线与平面平行的判定和平面与平面垂直的判定，需要了解平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行；一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直才能得出正确答案．