Question

【题目】已知向量 为实数．
（1）若 ，求t的值；
（2）若t=1，且 ，求 的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：向量 为实数，

若 ，则（2cosα﹣2sinα，sin2α﹣t）=（ ，0），

可得cosα﹣sinα= ，平方可得sin2α+cos2α﹣2cosαsinα= ，

即为2cosαsinα=1﹣ = ，（cosα＞0，sinα＞0），

由sin2α+cos2α=1，解得cosα+sinα= = = ，

即有cosα= ，sinα= ．

则t=sin2α=

（2）解：若t=1，且 ，即有4cosαsinα+sin2α=1，

即有4cosαsinα=1﹣sin2α=cos2α，

由α为锐角，可得cosα∈（0，1），即有tanα= = ，

则tan2α= = = ，

= = =

【解析】（1）运用向量的加减运算和同角的平方关系，即可求得cosα= ，sinα= ．进而得到t的值；（2）运用向量的数量积的坐标表示，结合条件的商数关系，求得tanα，再由二倍角的正切公式和和角公式，计算即可得到所求值．