Question

【题目】已知二次函数y=﹣x2+bx+c+1，
①当b=1时，求这个二次函数的对称轴的方程；
②若c= b2﹣2b，问：b为何值时，二次函数的图象与x轴相切？
③若二次函数的图象与x轴交于点A（x1 ， 0），B（x2 ， 0），且x1＜x2 ， 与y轴的正半轴交于点M，以AB为直径的半圆恰好过点M，二次函数的对称轴l与x轴、直线BM、直线AM分别交于点D、E、F，且满足 = ，求二次函数的表达式．

Answer 1

【答案】解：①二次函数y=﹣x2+bx+c+1的对称轴为x= ，
当b=1时， = ，
∴当b=1时，求这个二次函数的对称轴的方程为x= ．
②二次函数y=﹣x2+bx+c+1的顶点坐标为（ ， ），
∵二次函数的图象与x轴相切且c= b2﹣2b，
∴ ，解得：b=2+ 或b=2﹣ ，
∴b为2+ 或2﹣ 时，二次函数的图象与x轴相切．
③∵AB是半圆的直径，
∴∠AMB=90°，
∴∠OAM+∠OBM=90°，
∵∠AOM=∠MOB=90°，
∴∠OAM+∠OMA=90°，
∴∠OMA=∠OBM，
∴△OAM∽△OMB，
∴ ，
∴OM2=OAOB，
∵二次函数的图象与x轴交于点A（x1 ， 0），B（x2 ， 0），
∴OA=﹣x1 ， OB=x2 ， x1+x2 ， =b，x1x2=﹣（c+1），
∵OM=c+1，
∴（c+1）2=c+1，
解得：c=0或c=﹣1（舍去），
∴c=0，OM=1，
∵二次函数的对称轴l与x轴、直线BM、直线AM分别交于点D、E、F，且满足 = ，
∴AD=BD，DF=4DE，
DF∥OM，
∴△BDE∽△BOM，△AOM∽△ADF，
∴ ， ，
∴DE= ，DF= ，
∴ ×4，
∴OB=4OA，即x2=﹣4x1 ，
∵x1x2=﹣（c+1）=﹣1，
∴ ，解得： ，
∴b=﹣ +2= ，
∴二次函数的表达式为y=﹣x2+ x+1．
【解析】①二次函数y=﹣x2+bx+c+1的对称轴为x= ，即可得出答案；②二次函数y=﹣x2+bx+c+1的顶点坐标为（ ， ），y由二次函数的图象与x轴相切且c= b2﹣2b，得出方程组 ，求出b即可；③由圆周角定理得出∠AMB=90°，证出∠OMA=∠OBM，得出△OAM∽△OMB，得出OM2=OAOB，由二次函数的图象与x轴的交点和根与系数关系得出OA=﹣x1 ， OB=x2 ， x1+x2 ， =b，x1x2=﹣（c+1），得出方程（c+1）2=c+1，得出c=0，OM=1，证明△BDE∽△BOM，△AOM∽△ADF，得出 ， ，得出OB=4OA，即x2=﹣4x1 ， 由x1x2=﹣（c+1）=﹣1，得出方程组 ，解方程组求出b的值即可．
【考点精析】关于本题考查的相似三角形的应用，需要了解测高：测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决；测距：测量不能到达两点间的举例，常构造相似三角形求解才能得出正确答案．