Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆 的右顶点和上顶点分别为点A，B，M是线段AB的中点，且 ．．
（1）求椭圆的离心率；
（2）若a=2，四边形ABCD内接于椭圆，AB∥CD，记直线AD，BC的斜率分别为k1 ， k2 ， 求证：k1k2为定值．

Answer 1

【答案】
（1）解：A（a，0），B（0，b），线段AB的中点M ．

=（﹣a，b）， = ．

∵ ．

∴ + =﹣ b2，化为：a=2b．

∴椭圆的离心率e= = =

（2）解：证明：由a=2，可得b=1，

∴椭圆的标准方程为： +y2=1，A（2，0），B（0，1）．

直线BC的方程为：y=k2x+1，联立 ，化为：（1+ ）x2+8k2x=0，

解得xC= ，∴yC= ．即C（ ， ）．

直线AD的方程为：y=k1（x﹣2），联立 ，化为： x2﹣16 x+ ﹣4=0，

∴2xD= ，解得xD= ，yD= ，可得D（ ， ）

∴kCD= =﹣ ，

化为：1﹣16 +2k1﹣2k2+8 ﹣8 =0．

∴ （4k1k2+4k1﹣4k2+1）=0，

∴k1k2= ．

【解析】（1）A（a，0），B（0，b），线段AB的中点M ．利用 与离心率的计算公式即可得出．（2）由a=2，可得b=1，可得椭圆的标准方程为： +y2=1，A（2，0），B（0，1）．直线BC的方程为：y=k2x+1，直线AD的方程为：y=k1（x﹣2），分别于同一方程联立解得C，D，坐标，利用kCD= =﹣ ，即可得出．