Question

【题目】函数f（x）=ex（﹣x2+2x+a）在区间[a，a+1]上单调递增，则实数a的最大值为 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：f（x）=ex（﹣x2+2x+a）， f′（x）=ex（﹣x2+a+2），
若f（x）在[a，a+1]上单调递增，
则﹣x2+a+2≥0在[a，a+1]恒成立，
即a+2≥x2在[a，a+1]恒成立，
①a+1＜0即a＜﹣1时，y=x2在[a，a+1]递减，
y=x2的最大值是y=a2 ，
故a+2≥a2 ， 解得：a2﹣a﹣2≤0，解得：﹣1＜a＜2，不合题意，舍；
②﹣1≤a≤0时，y=x2在[a，0）递减，在（0，a+1]递增，
故y=x2的最大值是a2或（a+1）2 ，
③a＞0时，y=x2在[a，a+1]递增，y的最大值是（a+1）2 ，
故a+2≥（a+1）2 ， 解得：0＜a≤ ，
则实数a的最大值为： ，
综上，a的最大值是 ，
所以答案是： ．
【考点精析】认真审题，首先需要了解利用导数研究函数的单调性(一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减)．