Question

【题目】已知a，b，c为正实数，且 ，则 的取值范围为 ．

Answer 1

【答案】[27，30]
【解析】解：∵ ， ∴ ，设x= ，y= ，则有 ，
∴ ，
作出平面区域如图所示：

令z= =3x+8y，则y=﹣ + ，
由图象可知当直线y=﹣ + 经过点A时，截距最大，即z最大；
当直线y=﹣ + 与曲线y= 相切时，截距最小，即z最小．
解方程组 得A（2，3），∴z的最大值为3×2+8×3=30，
设直线y=﹣ + 与曲线y= 的切点为（x0 ， y0），
则（ ）′| =﹣ ，即 =﹣ ，解得x0=3，
∴切点坐标为（3， ），∴z的最小值为3×3+8× =27．
∴27≤z≤30，
所以答案是：[27，30]．