Question

【题目】如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，在斜边AB上取一点D，过点D作DE∥BC，交AC于点E，现将△ADE绕点A旋转一定角度到如图2所示的位置（点D在△ABC的内部），使得∠ABD+∠ACD=90°．

（1）①求证：△ABD∽△ACE；
②若CD=1，BD= ，求AD的长．
（2）如图3，将原题中的条件“AC=BC”去掉，其它条件不变，设 = =k，若CD=1，BD=2，AD=3，求k的值．

（3）如图4，将原题中的条件“∠ACB=90°”去掉，其它条件不变，若 = = ，设CD=m，BD=n，AD=p，试探究m，n，p三者之间满足的等量关系．（直接写出结果，不必写出解答过程）

Answer 1

【答案】
（1）

解：①∵DE∥BC，

∴ ，

由旋转知，∠EAC=∠DAB，

∴△ABD∽△ACE，

②在Rt△ABC中，AC=BC，

∴AB= AC，

由①知，△ABD∽△ACE，

∴∠ABD=∠ACE，

∵∠ACD+∠ABD=90°，

∴∠ACE+∠ACD=90°，

∴∠DCE=90°，

∵△ABD∽△ACE，

∴ = ，

∴AD= AE，BD= CE，

∵BD= ，

∴CE= ，

在Rt△CDE中，CD=1，CE= ，

根据勾股定理得，DE=2，

在Rt△ADE中，AD=AE，

∴AD= DE=2

（2）

解：由旋转知，∠EAC=∠DAB，

∵ =

∴△ABD∽△ACE，

∴ =k，

∵AD=3，BD=2，

∴AE=kAD=3k，CE=kBD=2k，

∵△ABD∽△ACE，

∴∠ABD=∠ACE，

∵∠ACD+∠ABD=90°，

∴∠ACE+∠ACD=90°，

∴∠DCE=90°，

在Rt△CDE中，DE2=CD2+CE2=1+4k2，

在Rt△ADE中，DE2=AD2﹣AE2=9﹣9k2，

∴1+4k2=9﹣9k2，

∴k=﹣ （舍）或k=

（3）

解：由旋转知，∠EAC=∠DAB，

∵ =

∴△ABD∽△ACE，

∴ =

∵AD=p，BD=n，

∴AE= AD= p，CE= BD= n，

∵△ABD∽△ACE，

∴∠ABD=∠ACE，

∵∠ACD+∠ABD=90°，

∴∠ACE+∠ACD=90°，

∴∠DCE=90°，

在Rt△CDE中，DE2=CD2+CE2=m2+ n2，

∵DE=AE= p，

∴ p2=m2+ n2，

∴9p2=25m2+9n2

【解析】（1）①先利用平行线分线段成比例定理得， ，进而得出结论；②利用①得出的比例式求出CE，再判断出∠DCE=90°，利用勾股定理即可得出结论；（2）同（1）的方法判断出△ABD∽△ACE，即可得出AE=3k，CE=2k，同（1）的方法得出∠DCE=90°，利用勾股定理得出DE的平方，用DE的平方建立方程求解即可；（3）同（2）的方法得出DE2=m2+ n2 ， 而DE=AE= p，即可得出结论；