Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，CE⊥AD，交AD的延长线于点E．
（1）求证：∠BDC=∠A；
（2）若CE=2 ，DE=2，求AD的长．
（3）在（2）的条件下，求弧BD的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OD，

∵CD是⊙O切线，

∴∠ODC=90°，

即∠ODB+∠BDC=90°，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

即∠ODB+∠ADO=90°，

∴∠BDC=∠ADO，

∵OA=OD，

∴∠ADO=∠A，

∴∠BDC=∠A

（2）解：∵CE⊥AE，

∴∠E=∠ADB=90°，

∴DB∥EC，

∴∠DCE=∠BDC，

∵∠BDC=∠A，

∴∠A=∠DCE，

∵∠E=∠E，

∴△AEC∽△CED，

∴ = ，

∴EC2=DEAE，

∴（2 ）2=2（2+AD），

∴AD=4

（3）解：∵直角△CDE中，tan∠DCE= = = ，

∴∠DCE=30°，

又∵△AEC∽△CED，

∴∠A=∠DCE=30°，

∴∠DOB=2∠A=60°，BD=ADtanA=4× = ，

∴△OBD是等边三角形，则OD=BD= ，

则弧BD的长是 =

【解析】（1）连接OD，由CD是⊙O切线，得到∠ODC=90°，根据AB为⊙O的直径，得到∠ADB=90°，等量代换得到∠BDC=∠ADO，根据等腰三角形的性质得到∠ADO=∠A，即可得到结论；（2）根据垂直的定义得到∠E=∠ADB=90°，根据平行线的性质得到∠DCE=∠BDC，根据相似三角形的性质得到 = ，解方程即可得到结论；（3）利用三角函数求得∠DCE的度数，根据△AEC∽△CED，求得∠A的度数，则∠DIB即可求得，然后在直角△ABD中求得BD，从而求得半径，然后利用弧长公式求解．
【考点精析】本题主要考查了切线的性质定理和弧长计算公式的相关知识点，需要掌握切线的性质：1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径；若设⊙O半径为R，n°的圆心角所对的弧长为l，则l=nπr/180;注意：在应用弧长公式进行计算时，要注意公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的才能正确解答此题．