Question

【题目】如图，在平面内直角坐标系中，直线y=2x+4分别交x轴，y轴于点A，C，点D（m，2）在直线AC上，点B在x轴正半轴上，且OB=3OC，点E是y轴上任意一点，记点E为（0，n）．

（1）求点D的坐标及直线BC的解析式；
（2）连结DE，将线段DE绕点D按顺时针旋转90°得线段DG，作正方形DEFG，是否存在n的值，使正方形的顶点F落在△ABC的边上？若存在，求出所有满足条件的n的值；若不存在，说明理由．
（3）作点E关于AC的对称点E′，当n为何值时，AE′分别与AC，BC，AB垂直？

Answer 1

【答案】
（1）

解：由题意A（﹣2，0），C（0，4），

把D（m，2）代入y=2x+4解得m=﹣1，

∴D（﹣1，2），

∵OB=3OC，OC=4，

∴OB=12，

∴B（12，0），设直线BC的解析式为y=kx+b则有 ，

解得 ，

∴直线BC的解析式为y=﹣ x+4

（2）

解：①如图1中，当点F在BC上时，作FH⊥y轴于H，作DM⊥y轴于M．

由△EDM≌△FEH，

∴DM=EH=1，EM=FH=n﹣2，

∴F（n﹣2，n﹣1），把F点坐标代入y=﹣ x+4，

得到n﹣1=﹣ （n﹣2）+4，

∴n= ．

②如图2中，当点F在AB上时，作DH⊥OC于H．

由△DHE≌△EOF，可得DH=EO=1，

∴n=1，

综上所述，满足条件的n的值为 或1

（3）

解：①如图3中，当AE′⊥AC时，

∵直线AC的解析式为y=2x+4，

∴直线AE′的解析式为y=﹣ x﹣1，

∴E（0，﹣1），

∴n=﹣1．

②如图4中，当AE′⊥BC时，延长AE′交BC于G，

易知，CE=CE′=4﹣n，AE= ，

由△BOC∽△BGA，

∴ = ，

∴ = ，

∴BG= ，

∴CG= ，

由△CGE′∽△AOE，

∴ = ，

∴ = ，

解得n= 或6（舍弃）．

③如图5中，当AE′⊥AB时，

易证AE=CE，设AE=CE=x，

在Rt△AEO中，∵AE2=OE2+OA2，

∴x2=（4﹣x）2+22，

∴x= ，

∴AE=CE= ，

∴OE= ，

∴n= ，

综上所述，当AE′分别与AC，BC，AB垂直时，n的值分别为﹣1或 或

【解析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）①如图1中，当点F在BC上时，作FH⊥y轴于H，作DM⊥y轴于M．由△EDM≌△FEH，推出DM=EH=1，EM=FH=n﹣2，推出F（n﹣2，n﹣1），把F点坐标代入y=﹣ x+4，即可解决问题；②如图2中，当点F在AB上时，作DH⊥OC于H．由△DHE≌△EOF，可得DH=EO=1，即可解决问题；（3）分三种情形①如图3中，当AE′⊥AC时，②如图4中，当AE′⊥BC时，延长AE′交BC于G，③如图5中，当AE′⊥AB时，分别求解即可；