Question

【题目】如图， 是⊙ 的直径， 、 为⊙ 上位于 异侧的两点，连接 并延长至点 ，使得 ，连接 交⊙ 于点 ，连接 、 、 .

（1）证明: ;
（2）若 ，求 的度数;
（3）设 交 于点 ，若 是 的中点，求 的值.

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接AD，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，

∵CD=BD，

∴AD垂直平分BC，

∴AB=AC，

∴∠B=∠C，

又∵∠B=∠E，

∴∠E=∠C；

（2）解：∵四边形AEDF是⊙O的内接四边形，

∴∠AFD=180°-∠E，

又∵∠CFD=180°-∠AFD，

∴∠CFD=∠E=55°，

又∵∠E=∠C=55°，

∴∠BDF=∠C+∠CFD=110°

（3）解：连接OE，

∵∠CFD=∠E=∠C，

∴FD=CD=BD=4，

在Rt△ABD中，cosB= ，BD=4，

∴AB=6，

∵E是 的中点，AB是⊙O的直径，

∴∠AOE=90°，

∵AO=OE=3，

∴AE=3 ，

∵E是 的中点，

∴∠ADE=∠EAB，

∴△AEG∽△DEA，

∴ ，

即EGED=AE2=18

【解析】（1）由AB是⊙O的直径，得到AD⊥BC，CD=BD，得到AD垂直平分BC，根据垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点与线段的两个端点的距离相等，得到AB=AC，得到∠B=∠C，根据圆周角定理得到∠E=∠C；（2）由四边形AEDF是⊙O的内接四边形，得到∠AFD与∠E互补，又∠CFD与∠AFD互补，得到∠CFD=∠E，又∠E=∠C，∠BDF=∠C+∠CFD的度数；（3）根据在同一个圆中，等角所对的弦相等，得到FD=CD=BD，根据三角函数值，求出AB的值，由已知E是AB弧的中点，得到AE的值，和△AEG∽△DEA，得到比例，求出GED=AE2的值.