Question

【题目】如图，二次函数y=ax2-6ax+4a+3的图像与y轴交于点A，点B是x轴上一点，其坐标为(1，0)，连接AB,tan∠ABO=2.

（1）则点A的坐标为 ， a=;
（2）过点A作AB的垂线与该二次函数的图像交于另一点C，求点C的坐标;
（3）连接BC，过点A作直线l交线段BC于点P，设点B、点C到l的距离分别为d1、d2 ， 求d1+d2的最大值.

Answer 1

【答案】
（1）（0,2）,
（2）解：设线段AB所在直线解析式为y=kx+b，把B（1，0），A（0，2）代入得：

，解得：k=-2，b=2

所以线段AB所在直线解析式为y=-2x+2

又过点A的直线与AB垂直，故其解析式为

由（1）得 a= ，所以：y= x2+ x+2

联立方程组，得

，解得： ，

∴点C的坐标为（4，4）

（3）解：如图，过点A作AM⊥BC于M，过点B作BF⊥AP于F．过点D作DE⊥AP于E，则BF=d1，DE=d2． 过点C作CG⊥x轴，

则：BC=

S梯形AOGC= （AO+CG） OG= ×(2+4)×4=12

SΔABO= AOBO= ×2×1=1

SΔCBG= CGCG= ×3×4 =6

∴SΔABC=S梯形AOGC-SΔABO-SΔCBG=12-1-6=5

∴AM=5

由面积法得到AMBC=APd1+APd2，由此可得d1+d2= ，

Rt△APM中，AP≥AM，故d1+d2≤ ，

所以，d1+d2的最大值为5．

【解析】（1）令x=0，则y=4a+3，即OA=4a+3，

∵B（1，0）

∴OB=1

在RtΔABO中，tan∠ABO=2

即

解得：a= ，4a+3=2，

∴A（0，2）

由二次函数y=ax2-6ax+4a+3的图像与y轴交于点A，得到OA=4a+3，由B点的坐标，得到OB=1，根据三角函数的关系，求出a的值，得到A点的坐标；（2）把A、B两点的坐标代入AB所在直线解析式，求出AB所在直线的解析式；由过点A的直线与AB垂直，得到其解析式，求出点C的坐标；（3）根据勾股定理求出BC的值，求出S梯形AOGC=（AO+CG） OG，SΔABO=AOBO，SΔCBG= CGCG的值，得到SΔABC=S梯形AOGC-SΔABO-SΔCBG，得到AM的值，由面积法得到AMBC=APd1+APd2，求出d1+d2的最大值.