Question

【题目】在面积为24的△ABC中,矩形DEFG的边DE在AB上运动,点F,G分别在边BC,AC上.

(1)若AB=8,DE=2EF,求GF的长;

(2)若,如图2,线段DM,EN分别为△ADG和△BEF的角平分线,求证:MG=NF;

(3)求出矩形DEFG的面积的最大值.

Answer 1

【答案】（1）GF的长为4.8；（2）证明见解析；（3）矩形DEFG的面积的最大值为12.

【解析】解:(1)∵△ABC的面积为24,AB=8,

∴△ABC边AB上的高h=6. 1分

设EF=x,则GF=DE=2x.

∵GF∥AB,∴△CGF∽△CAB,

∴即解得x=2.4. 3分

∴GF=4.8. 4分

(2)过点G作GP∥BC,过点D作DP∥EN,GP,DP交于点P,在DM的延长线上截取DQ=DP,连接QG.

∵DP∥EN,

∴

又∵,∴.

同理可得.

又∵GD=FE,∴△GPD≌△FNE,∴. 6分

∵,∴△GQD≌△GPD,∴. 7分

∵,∴.

又∵,∴. 9分

∴MG=QG.

∴MG=NF. 10分

(3)作于点H,交GF于点I.

设AB=a,AB边上的高为h,DG=y,GF=x,则CH=h,CI=h－y,ah=48.

由(1)知,△CGF∽△CAB,

∴即

则xh12分

则矩形DEFG的面积即.

由二次函数的有关性质知,当时,S取得最大值为.

∴矩形DEFG的面积的最大值为12. 14分