Question

【题目】如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AF交CD于点E ， 交BC的延长线于点F ．

（1）求证：BF=CD；
（2）连接BE ， 若BE⊥AF ， ∠F=60°， ，求 的长．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：∵ 四边形ABCD为平行四边形，

∴ AB=CD，AD∥BC．

∴∠F=∠1．

又∵ AF平分∠BAD，

∴∠2=∠1．

∴∠F=∠2．

∴AB=BF．

∴BF=CD．

（2）

解：∵AB=BF，∠F=60°，

∴△ABF为等边三角形．

∵BE⊥AF，∠F=60°，

∴∠BEF=90°，∠3=30°．

在Rt△BEF中，设 ，则 ，

∴ ．

∴ ．

∴AB=BF=4．

【解析】（1）已知四边形ABCD为平行四边形，根据平行四边形的性质可得AB=CD，AD∥BC，所以∠F=∠1．再由AF平分∠BAD，可得∠2=∠1．所以∠F=∠2，根据等腰三角形的判定可得AB=BF，即可得BF=CD；
（2）根据AB=BF，∠F=60°判定△ABF为等边三角形，由等腰三角形的性质判定△BEF为Rt△，在Rt△BEF根据勾股定理即可求解.