Question

【题目】如图，点A，B，C分别是⊙O上的点，∠B=60°，AC=3，CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，且AP=AC．

（1）求证：AP是⊙O的切线；
（2）求PD的长．

Answer 1

【答案】
（1）解：证明：连接OA．

∵∠B=60°，

∴∠AOC=2∠B=120°，

又∵OA=OC，

∴∠ACP=∠CAO=30°，

∴∠AOP=60°，

∵AP=AC，

∴∠P=∠ACP=30°，

∴∠OAP=90°，

∴OA⊥AP，

∴AP是⊙O的切线，

（2）解：连接AD．

∵CD是⊙O的直径，

∴∠CAD=90°，

∴AD=ACtan30°=3× = ，

∵∠ADC=∠B=60°，

∴∠PAD=∠ADC﹣∠P=60°﹣30°=30°，

∴∠P=∠PAD，

∴PD=AD= ．

【解析】（1）连接OA，由直径所对的圆周角为90°可得到∠DAC=90°，故此可得到∠ACP=∠APC=30°，然后再求得∠AOP=60°，从而得到∠PAO=90°；（2）由直径所对的圆周角为90°可得到∠DAC=90°，然后利用三角函数与等腰三角形的判定定理可求得PD的长.
【考点精析】利用圆周角定理和切线的判定定理对题目进行判断即可得到答案，需要熟知顶点在圆心上的角叫做圆心角;顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角;一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．