Question

【题目】如图，抛物线y=x2+bx+c与直线y=x﹣1交于A、B两点．点A的横坐标为﹣3，点B在y轴上，点P是y轴左侧抛物线上的一动点，横坐标为m，过点P作PC⊥x轴于C，交直线AB于D．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当m为何值时，S四边形OBDC=2S△BPD；

（3）是否存在点P，使△PAD是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2+4x﹣1；（2）m=﹣，﹣2或时S四边形OBDC=2S△BPD；

（3）P（﹣2，﹣5）．

【解析】分析：（1）将x=0代入y=x-1求出B的坐标，将x=-3代入y=x-1求出A的坐标，由待定系数法就可以求出抛物线的解析式；

（2）由P点的横坐标为m可以表示出P、D的坐标，由此表示出S四边形OBDC和2S△BPD建立方程求出其解即可．

（3）如图2，当∠APD=90°时，设出P点的坐标，就可以表示出D的坐标，由△APD∽△FCD列出比例式求解即可；如图3，当∠PAD=90°时，作AE⊥x轴于E，根据比例式表示出AD，再由△PAD∽△FEA列出比例式求解．

详解：（1）∵y=x﹣1，

∴当x=0时，y=﹣1，

∴B（0，﹣1）．

当x=﹣3时，y=﹣4，

∴A（﹣3，﹣4）．

∵y=x2+bx+c与直线y=x﹣1交于A、B两点，

∴，

∴，

∴抛物线的解析式为：y=x2+4x﹣1；

（2）∵P点横坐标是m（m＜0），

∴P（m，m2+4m﹣1），D（m，m﹣1）

如图1①，作BE⊥PC于E，

∴BE=﹣m．

CD=1﹣m，OB=1，OC=﹣m，CP=1﹣4m﹣m2，

∴PD=1﹣4m﹣m2﹣1+m=﹣3m﹣m2，

∴，

解得：m1=0（舍去），m2=﹣2，m3=﹣；

如图1②，作BE⊥PC于E，

∴BE=﹣m．

PD= m2+4m- 1-m+1= m2+3m，

∴，

解得：m=0（舍去）或m=(正值舍去)，

∴m=﹣，﹣2或时S四边形OBDC=2S△BPD；

（3））如图2，

当∠APD=90°时，设P（m，m2+4m﹣1），则D（m，m﹣1），

∴AP=m+4，CD=1﹣m，OC=﹣m，CP=1﹣4m﹣m2，

∴DP=1﹣4m﹣m2﹣1+m=﹣3m﹣m2．

在y=x﹣1中，当y=0时，x=1，

∴（1，0），

∴OF=1，

∴CF=1﹣m．AF=4．

∵PC⊥x轴，

∴∠PCF=90°，

∴∠PCF=∠APD，

∴CF∥AP，

∴△APD∽△FCD，，

∴，

解得：m=1(舍去)或m=﹣2，

∴P（﹣2，﹣5）

如图3，当∠PAD=90°时，作AE⊥x轴于E，

∴∠AEF=90°．CE=﹣3﹣m，EF=4，AF=4，PD=1﹣m﹣（1﹣4m﹣m2）=3m+m2．

∵PC⊥x轴，

∴∠DCF=90°，

∴∠DCF=∠AEF，

∴AE∥CD．

∴，

∴AD=（﹣3﹣m）．

∵△PAD∽△FEA，

∴，

∴，

∴m=﹣2或m=﹣3

∴P（﹣2，﹣5）或（﹣3，﹣4）与点A重合，舍去，

∴P（﹣2，﹣5）．