Question

【题目】如图，在△ABC中，点O是AC边上一动点，过点O作BC的平行线交∠ACB的角平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F

（1）求证：EO＝FO；

（2）当点O运动到何处时，四边形CEAF是矩形？请证明你的结论．

（3）在第（2）问的结论下，若AE＝3，EC＝4，AB＝12，BC＝13，请直接写出凹四边形ABCE的面积为　 　．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）当点O运动到AC的中点时，四边形CEAF是矩形，理由详见解析；（3）24．

【解析】

（1）由平行线的性质和角平分线的定义得出∠OEC＝∠OCE，证出EO＝CO，同理得出FO＝CO，即可得出EO＝FO；

（2）由对角线互相平分证明四边形CEAF是平行四边形，再由对角线相等即可得出结论；

（3）先根据勾股定理求出AC，得出△ACE的面积＝AE×EC，再由勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，得出△ABC的面积＝ABAC，凹四边形ABCE的面积＝△ABC的面积﹣△ACE的面积，即可得出结果．

（1）证明：∵EF∥BC，

∴∠OEC＝∠BCE，

∵CE平分∠ACB，

∴∠BCE＝∠OCE，

∴∠OEC＝∠OCE，

∴EO＝CO，

同理：FO＝CO，

∴EO＝FO；

（2）解：当点O运动到AC的中点时，四边形CEAF是矩形；理由如下：

由（1）得：EO＝FO，

又∵O是AC的中点，

∴AO＝CO，

∴四边形CEAF是平行四边形，

∵EO＝FO＝CO，

∴EO＝FO＝AO＝CO，

∴EF＝AC，

∴四边形CEAF是矩形；

（3）解：由（2）得：四边形CEAF是矩形，

∴∠AEC＝90°，

∴AC＝＝＝5，

△ACE的面积＝AE×EC＝×3×4＝6，

∵122+52＝132，

即AB2+AC2＝BC2，

∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，

∴△ABC的面积＝ABAC＝×12×5＝30，

∴凹四边形ABCE的面积＝△ABC的面积﹣△ACE的面积＝30﹣6＝24；

故答案为：24．