Question

【题目】综合与探究

问题情境：

在综合实践课上，李老师让同学们根据如下问题情境，写出两个数学结论：如图（1），正方形ABCD的对角线交于点O，点O又是正方形OEFG的一个顶点（正方形OEFG的边长足够长），将正方形OEFG绕点O做旋转实验，OE与BC交于点M，OG与DC交于点N．

“兴趣小组”写出的两个数学结论是：

①S△OMC+S△ONC＝S正方形ABCD；

②BM2+CM2＝2OM2．

问题解决：

（1）请你证明“兴趣小组”所写的两个结论的正确性．

类比探究：

（2）解决完“兴趣小组”的两个问题后，老师让同学们继续探究，再提出新的问题；“智慧小组“提出的问题是：如图（2），将正方形OEFG在图（1）的基础上旋转一定的角度，当OE与CB的延长线交于点M，OG与DC的延长线交于点N，则“兴趣小组”所写的两个结论是否仍然成立？请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）结论①不成立，结论②成立，理由详见解析.

【解析】

（1）①利用正方形的性质判断出△BOM≌△CON，利用面积和差即可得出结论；

②先得出OM＝ON，BM＝CN，再用勾股定理即可得出结论；

（2）同（1）的方法即可得出结论．

解：（1）①∵正方形ABCD的对角线相交于O，

∴S△BOC＝S正方形ABCD，OB＝OC，∠BOC＝90°，∠OBM＝∠OCN，

∵四边形OEFG是正方形，

∴∠MON＝90°，

∴∠BOC﹣∠MOC＝∠MON﹣∠MOC，

∴∠BOM＝∠COM，

∴△BOM≌△CON，

∴S△BOM＝S△CON，

∴S△OMC+S△ONC＝S△OMC+S△BOM＝S正方形ABCD；

②由①知，△BOM≌△CON，

∴OM＝ON，BM＝CN，

在Rt△MCN中，MN2＝CM2+CN2＝CM2+BM2，

在Rt△MON中，MN2＝OM2+ON2＝2OM2，

∴BM2+CM2＝2OM2；

（2）结论①不成立，

理由：∵正方形ABCD的对角线相交于O，

∴S△BOC＝S正方形ABCD，OB＝BD，OC＝AC，AC＝BD，AC⊥BD，∠ABC＝∠BCD＝90°，AC平分∠BCD，BD平分∠ABC，

∴OB＝OC，∠BOC＝90°，∠OBC＝∠OCD＝45°，

∴∠OBM＝∠OCN＝135°，

∵四边形OEFG是正方形，

∴∠MON＝90°，

∴∠BOM＝∠CON，

∴△BOM≌△CON，

∴S△BOM＝S△CON，

∴S△OMC﹣S△BOM＝S△OMC﹣S△CON＝S△BOC＝S正方形ABCD，

∴结论①不成立；

结论②成立，理由：

如图（2）

连接MN，∵△BOM≌△CON，

∴OM＝ON，BM＝CN，

在Rt△MCN中，MN2＝CM2+CN2＝CM2+BM2，

在Rt△MON中，MN2＝OM2+ON2＝2OM2，

∴BM2+CM2＝2OM2，

∴结论②成立．