Question

【题目】如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，点E在边CB的延长线上，且∠EAC=90°，AE2=EBEC．

（1）求证：四边形ABCD是矩形；

（2）延长DB、AE交于点F，若AF=AC，求证：AE=BF．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

（1）根据AE2=EBEC证明△AEB∽△CEA，即可得到∠EBA=∠EAC=90°，从而说明平行四边形ABCD是矩形；

（2）根据（1）中△AEB∽△CEA可得，再证明△EBF∽△BAF可得，结合条件AF=AC，即可证AE=BF．

证明：（1）∵AE2=EBEC

∴

又∵∠AEB=∠CEA

∴△AEB∽△CEA

∴∠EBA=∠EAC

而∠EAC=90°

∴∠EBA=∠EAC=90°

又∵∠EBA+∠CBA=180°

∴∠CBA=90°

而四边形ABCD是平行四边形

∴四边形ABCD是矩形

即得证．

（2）∵△AEB∽△CEA

∴即，∠EAB=∠ECA

∵四边形ABCD是矩形

∴OB=OC

∴∠OBC=∠ECA

∴∠EBF=∠OBC=∠ECA=∠EAB

即∠EBF=∠EAB

又∵∠F=∠F

∴△EBF∽△BAF

∴

∴

而AF=AC

∴BF=AE

即AE=BF得证．