Question

【题目】如图，函数y= （x＞0）图象上一点P的横坐标是4，过点P作直线l交x轴于点A，交y轴负半轴于点B，且OA=OB．

（1）求直线l的函数解析式；
（2）过点P作直线l的垂线l1 ， 交函数y= （x＞0）图象于点C，求△OPC的面积．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函数y= （x＞0）图象上一点P的横坐标是4，

∴点P的坐标为（4，1），

过P作PE⊥y轴于E，

则PE=4，OE=1，

∵OA=OB，∠AOB=90°，

∴∠EBA=∠OAB=45°=∠EPB，

∴PE=EB=4，

∴OB=3，OA=3，

∴B的坐标为（0，﹣3），

设直线l的解析式为y=ax+c，

把B、P的坐标代入得： ，

解得：a=1，c=﹣3，

∴直线l的函数解析式为y=x﹣3；

（2）解：设直线PC交y轴于F，

∵l1⊥l，∠OBA=45°，

∴∠EFP=45°，

∴EF=PE=4，

∴OF=4+1=5，

∴F的坐标为（0，5），

设直线l1的解析式为y=ex+f，

把P和F的坐标代入得： ，

解得：e=﹣1，f=5，

∴直线l1的解析式为y=﹣x+5，

解方程组 得： 或 ，

即C的坐标为（1，4），

∵F（0，5），C（1，4），P（4，1），B（0，﹣3），

∴△OPC的面积S=S△FPB﹣S△FCO﹣S△POB= ×（5+3）×4﹣ ﹣ =

【解析】（1）求出P点的坐标，过P作PE⊥y轴于E，求出PE=4，OE=1，PE-EB=4，求出B点的坐标，设直线l的解析式为y=ax+c，把B、P两点的坐标代入即可；（2）设直线PC交y轴于F，求出F点的坐标，求出直线l1的解析式，求出C点的坐标，根据各个点的坐标求出面积即可。
【考点精析】关于本题考查的确定一次函数的表达式，需要了解确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式y=kx+b（k不等于0）中的常数k和b．解这类问题的一般方法是待定系数法才能得出正确答案．