Question

【题目】如图，已知⊙O的半径为2，AB为直径，CD为弦．AB与CD交于点M，将 沿着CD翻折后，点A与圆心O重合，延长OA至P，使AP=OA，链接PC．

（1）求CD的长；
（2）求证：PC是⊙O的切线；
（3）点G为 的中点，在PC延长线上有一动点Q，连接QG交AB于点E，交 于点F（F与B、C不重合）．问GEGF是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：如图，连接OC，

∵ 沿CD翻折后，点A与圆心O重合，

∴OM= OA= ×2=1，CD⊥OA，

∵OC=2，

∴CD=2CM=2 =2 =2 ；

（2）证明：∵PA=OA=2，AM=OM=1，CM= CD= ，∠CMP=∠OMC=90°，

∴PC= = =2 ，

∵OC=2，PO=2+2=4，

∴PC2+OC2=（2 ）2+22=16=PO2，

∴∠PCO=90°，

∴PC是⊙O的切线

（3）解：解：GEGF是定值，证明如下，

连接GO并延长，交⊙O于点H，连接HF

∵点G为 的中点

∴∠GOE=90°，

∵∠HFG=90°，且∠OGE=∠FGH

∴△OGE∽△FGH

∴ =

∴GEGF=OGGH=2×4=8．

【解析】（1）连接OC，根据翻折的性质求出OM,CD⊥OA，再利用勾股定理列式求解即可；（2）根据勾股定理求出PC，然后利用勾股定理的逆定理求出∠PCO=90°，再根据圆的切线判定即可；（3）连接GO并延长，交⊙O于点H，连接HF，根据垂径定理得出∠GOE=90°，再判断出△OGE∽△FGH最后根据相似三角形的性质得出比例式，进而得出GEGF=OGGH=2×4=8．。
【考点精析】解答此题的关键在于理解勾股定理的概念的相关知识，掌握直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2，以及对勾股定理的逆定理的理解，了解如果三角形的三边长a、b、c有下面关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．