Question

【题目】如图，已知在平面直角坐标系 xOy 中，正比例函数 y=kx 与一次函数 y=x+b 的图象相交于点 A(4，3).过点 P(2，0)作 x 轴的垂线，分别交正比例函数的图象于点 B，交一次函数的图象于点 C， 连接 OC.

(1)求这两个函数解析式；

(2)求△OBC 的面积；

(3)在 x 轴上是否存在点 M，使△AOM 为等腰三角形? 若存在，直接写出 M 点的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）y=x; y=x+7;（2）;（3）存在，M（8,0），M（,0），M（,0），M（-,0）.

【解析】

（1）分别把A(4，3)代入y=kx，y=x+b，用待定系数法即可求解；

（2）先求出点B和点C的坐标，然后根据三角形的面积公式计算即可；

（3）分AO=AM时，AM=OM时，AO=OM时三种情况求解即可.

（1）把A(4，3)代入y=kx，得

4k=3,

∴k=,

∴y=x;

把A(4，3)代入y=x+b，得

-4+b=3,

∴b=7,

∴y=x+7;

（2）当x=2时，

y=x=，

y=x+7=5，

∴B（2，），C（2,5），

∴BC=5-=，

∴△OBC 的面积=OP·BC=×2×=;

（3）解，得

,

∴A（4,3）.

设M（x，0）

当AO=AM时，

，

解之得

x1=8，x2=0（舍去），

∴M（8,0）；

当MA=OM时，

，

解之得

x =，

∴M（,0）；

当AO=OM时，

，

解之得

x1=，x2=，

∴M（,0）或M（-,0）.

∴M（8,0），M（,0），M（,0），M（-,0）时，△AOM 为等腰三角形.