Question

【题目】如图，边长为3正方形的顶点与原点重合，点在轴，轴上。反比例函数的图象交于点，连接，.

（1）求反比例函数的解析式；

（2）过点作轴的平行线，点在直线上运动，点在轴上运动.

①若是以为直角顶点的等腰直角三角形，求的面积；

②将“①”中的“以为直角顶点的”去掉，将问题改为“若是等腰直角三角形”，的面积除了“①”中求得的结果外，还可以是______.（直接写答案，不用写步骤）

Answer 1

【答案】（1）；（2）①或.②5或17.

【解析】

（1）设的坐标分别为，根据三角形的面积，构建方程即可解决问题．
（2）①分两种情形画出图形：当点P在线段BM上，当点P在线段BM的延长线上时，分别利用全等三角形的性质求解即可．
②当点Q是等腰三角形的直角顶点时，分两种情形分别求解即可．

解：（1））∵四边形OACD是正方形，边长为3，
∴点B的纵坐标为3，点E的横坐标为3，
∵反比例函数的图象交AC，CD于点B，E，

设的坐标分别为.

∵S△OBE=4，

可得，.

解得，，（舍）.

所以，反比例函数的解析式为.

（2））①如图1中，设直线m交OD于M．

由（1）可知B（1，3），AB=1，BC=2，
当PC=PQ，∠CPQ=90°时，
∵∠CBP=∠PMQ=∠CPQ=90°，
∴∠CPB+∠BCP=90°，∠CPB+∠PQM=90°，
∴∠PCB=∠MPQ，∵PC=PQ，
∴△CBP≌△PMQ（AAS），
∴BC=PM=2，PB=MQ=1，
∴PC=PQ=

∴S△PCQ=

如图2中，当PQ=PC，∠CPQ=90°，

同法可得△CBP≌△PMQ（AAS），
∴PM=BC=2，OM=PB=5，
∴PC=PQ=，

∴S△PCQ=.

所以，的面积为或.

②当点Q是等腰三角形的直角顶点时，同法可得CQ=PQ=，此时S△PCQ=5．

或CQ′=PQ′=，可得S△P′CQ′=17，

不存在点C为等腰三角形的直角顶点，
综上所述，△CPQ的面积除了“①”中求得的结果外，还可以是5或17．
故答案为5或17．