Question

【题目】如图，在△ABC中，AC=BC，D是BC上的一点，且满足∠BAD= ∠C，以AD为直径的⊙O与AB，AC分别相交于点E，F．

（1）求证：直线BC是⊙O的切线；
（2）连接EF，若tan∠AEF= ，AD=4，求BD的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：在△ABC中，

∵AC=BC，

∴∠CAB=∠B，

∵∠CAB+∠B+∠C=180°，

∴2∠B+∠C=180°，

∴∠B+ ∠C=90°，

∵∠BAD= ∠C，

∴∠B+∠BAD=90°，

∴∠ADB=90°，

∴AD⊥BC，

∵AD为⊙O直径，

∴直线BC是⊙O的切线；

（2）解：如图，连接DF，EF．

∵AD是⊙O的直径，

∴∠AFD=90°，

∵∠ADC=90°，

∴∠ADF+∠FDC=∠C+∠FDC=90°，

∴∠ADF=∠C，

∵∠ADF=∠AEF，tan∠AEF= ，

∴tan∠C=tan∠ADF= ，

在Rt△ACD中，设AD=4x，则CD=3x，

∴AC= =5x，

∴BC=5x，BD=2x，

∵AD=4，

∴x=1，

∴BD=2．

【解析】（1）首先依据等腰三角形的性质得到∠CAB=∠B，然后结合三角形的内角和定理可得到∠B+ 1 2 ∠C=90°，然后依据题目条件可证明∠B+∠BAD=90°，然后依据切线的判定定理进行证明即可；
（2）连接DF，EF，由圆周角定理可知DF⊥AC，然后依据同角的余角相等得到∠ADF=∠C，接下来，依据同弧所对的圆周角相等得到∠ADF=∠AEF，由tan∠AEF的值得到tan∠ADF的值，设出AD=4x、DC=3x，再由AC=BC，根据BC-CD表示出BD，再由AD的长，最后，利用勾股定理求出x的值，从而可确定出BD的长.
【考点精析】根据题目的已知条件，利用勾股定理的概念和切线的判定定理的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2；切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．