Question

【题目】如图，已知⊙O的半径为2，AB为直径，CD为弦．AB与CD交于点M，将 沿CD翻折后，点A与圆心O重合，延长OA至P，使AP=OA，连接PC

（1）求CD的长；
（2）求证：PC是⊙O的切线；
（3）点G为 的中点，在PC延长线上有一动点Q，连接QG交AB于点E．交 于点F（F与B、C不重合）．问GEGF是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：如图，连接OC，

∵ 沿CD翻折后，点A与圆心O重合，

∴OM= OA= ×2=1，CD⊥OA，

∵OC=2，

∴CD=2CM=2 =2 =2

（2）解：证明：∵PA=OA=2，AM=OM=1，CM= CD= ，∠CMP=∠OMC=90°，

∴PC= = =2 ，

∵OC=2，PO=2+2=4，

∴PC2+OC2=（2 ）2+22=16=PO2，

∴∠PCO=90°，

∴PC是⊙O的切线

（3）解：解：GEGF是定值，证明如下，

连接GO并延长，交⊙O于点H，连接HF

∵点G为 的中点

∴∠GOE=90°，

∵∠HFG=90°，且∠OGE=∠FGH

∴△OGE∽△FGH

∴ =

∴GEGF=OGGH=2×4=8．

【解析】（1）弧CD 沿CD翻折后，点A与圆心O重合，OM=1，CD⊥OA，由OC=2，根据勾股定理得到CD=2CM=2；（2）根据勾股定理得到PC= 2，由OC=2，PO=2+2=4，得到PC2+OC2=PO2，∠PCO=90°，得到PC是⊙O的切线；（3）由点G为弧 ADB的中点，得∠GOE=90°，由∠HFG=90°，且∠OGE=∠FGH，得到△OGE∽△FGH，求出GEGF=OGGH即可．