Question

【题目】如图，已知抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点C，与x轴交于点A、B，且AB=2，抛物线的对称轴为直线x=2；

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）如果抛物线的对称轴上存在一点P，使得△APC周长的值最小，求此时P点坐标及△APC周长；

（3）设D为抛物线上一点，E为对称轴上一点，若以点A、B、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标．（直接写出结果）

Answer 1

【答案】（1）抛物线的函数表达式为y=x2﹣4x+3．（2）△APC周长的最小值3+．（3）D的坐标可以为：（2，﹣1）、（0，3）、（4，3）．

【解析】试题分析：（1）由AB=2，抛物线的对称轴为x=2，得知抛物线与x轴交点为（1，0）、（3，0），即1、3为方程x2+bx+c=0的两个根，结合跟与系数的关系可求得b、c；

（2）由抛物线的对称性，可得出PA+PC最短时，P点为线段BC与对称轴的交点，由此可得出结论；

（3）平行四边形分两种情况，一种AB为对角线，由平行四边形对角线的性质可求出D点坐标；另一种，AB为一条边，根据对比相等，亦能求出D点的坐标．

试题解析：（1）∵AB=2，对称轴为直线x=2，

∴点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（3，0），

∵抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A，B，

∴1，3是方程x2+bx+c=0的两个根，

由根与系数的关系，得1+3=﹣b，1×3=c，

∴b=﹣4，c=3，

∴抛物线的函数表达式为y=x2﹣4x+3．

（2）连接AC，BC，BC交对称轴于点P，连接PA，如图1，

由（1）知抛物线的函数表达式为y=x2﹣4x+3，点A，B的坐标分别为（1，0），（3，0），

∴点C的坐标为（0，3），

∴BC==3，AC==．

∵点A，B关于对称轴直线x=2对称，

∴PA=PB，

∴PA+PC=PB+PC，此时，PB+PC=BC，

∴当点P在对称轴上运动时，PA+PC的最小值等于BC，

∴△APC周长的最小值=AC+AP+PC=BC+AC=3+．

（3）以点A、B、D、E为顶点的四边形是平行四边形分两种情况，

①线段AB为对角线，如图2，

∵平行四边对角线互相平分，

∴DE在对称轴上，此时D点为抛物线的顶点，

将x=2代入y=x2﹣4x+3中，得y=﹣1，

即点D坐标为（2，﹣1）．

②线段AB为边，如图3，

∵四边形ABDE为平行四边形，

∴ED=AB=2，

设点E坐标为（2，m），则点D坐标为（4，m）或（0，m），

∵点D在抛物线上，

将x=0和x=4分别代入y=x2﹣4x+3中，解得m均为3，

故点D的坐标为（4，3）或（0，3）．

综合①②得点D的坐标可以为：（2，﹣1）、（0，3）、（4，3）．