Question

【题目】如图，⊙O的半径为4，B是⊙O外一点，连接OB，且OB=6，延长BO交⊙O于点A，点D为⊙O上一点，过点A作直线BD的垂线，垂足为C，AD平分∠BAC．

（1）求证：BC是⊙O的切线；

（2）求AC的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）AC=．

【解析】

试题分析：（1）连结OD，如图，由OA=OD得∠1=∠2，由AD平分∠BAC得∠1=∠3，则∠2=∠3，于是可判断OD∥AC，根据平行线的性质得OD⊥BD，则根据切线的判定定理即可得到BC是⊙O的切线；

（2）利用OD∥AC得到△BOD∽△BAC，然后利用相似比可计算出AC．

（1）证明：连结OD，如图，

∵OA=OD，

∴∠1=∠2，

∵AD平分∠BAC，

∴∠1=∠3，

∴∠2=∠3，

∴OD∥AC，

而AC⊥BD，

∴OD⊥BD，

∴BC是⊙O的切线；

（2）解：∵OD∥AC，

∴△BOD∽△BAC，

∴=，即=，

∴AC=．