Question

【题目】如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，D在边 AC上，AE⊥BD于 E

(1)如图1，作 CF⊥BD于F，求证：CF－AE＝EF

(2)如图2，若 BC＝CD，求的值

(3)如图3，作 BM⊥BE，且 BM＝BE，AE＝2，EN＝4，连 CM交 BE于 N，请直接写出△BCM的面积为___

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）；（3）5

【解析】

（1）利用已知条件易证△ABE≌△BCF，所以CF＝BE，AE＝BF，进而可证明EF＝CF－AE；

（2）作 CF⊥BD于 F，根据（1）可知AE=BF，再根据BC＝CD，CF⊥BD得到F为BD中点，故可得到=；

（3）过作 CF⊥BD于 F，根据（1）得△ABE≌△BCF，根据BM⊥BE，且 BM＝BE得到△BMN≌△FCN，故S△BCM=S△BCF=×BF×FC，即可求解.

（1）证明：∵CF⊥BD于点F，AE⊥BD，

∴∠AEB＝∠CFB＝90°，

∴∠ABE＋∠BAE＝90°，

又∵∠ABC＝90°，

∴∠ABE＋∠CBE＝90°，

∴∠BAE＝∠CBF，

在三角形ABE和BCF中，

，

∴△ABE≌△BCF（AAS），

∴CF＝BE，AE＝BF，

∴EF＝CF－AE．

（2）如图，作 CF⊥BD于 F，根据（1）可知AE=BF，

∵BC＝CD，CF⊥BD

∴F为BD中点，

∴DF=BF=AE

∴=；

（3）过作CF⊥BD于 F，

由（1）得△ABE≌△BCF，

∵BM⊥BE，且BM＝BE，

∴BM＝FC

又∠MNB=∠CNF，

∴△BMN≌△FCN，

∴S△BMN=S△FCN，BN=FN

∵AE＝2，EN＝4，

∴BF= AE＝2,BN=BF=1,

故BE=BN+EN=5

故S△BCM=S△BCF=×BF×FC=×2×BE==5.