Question

【题目】已知：如图，在四边形ABCD中，∠D＝90°，∠ABC＝∠BCD，点E在直线BC上，点F在直线CD上，且∠AEB＝∠CEF.

(1)如图20①，若AE平分∠BAD，求证：EF⊥AE；

(2)如图20②，若AE平分四边形ABCD的外角，其余条件不变，则(1)中的结论是否仍然成立？并说明理由．

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2) EF⊥AE仍成立,理由见解析.

【解析】

（1）如图1，先根据三角形内角和定理得出∠BAE=180°-∠B-∠AEB，∠EFC=180°-∠C-∠CEF，由∠B=∠C，∠AEB=∠CEF，得到∠BAE=∠EFC，再由角平分线定义得出∠BAE=∠DAE，等量代换得到∠EFC=∠DAE．由平角的定义得出∠EFC+∠EFD=180°，那么∠DAE+∠EFD=180°，再根据四边形内角和定理求出∠AEF+∠D=360°-（∠DAE+∠EFD）=180°，进而得到∠AEF=90°，由垂直的定义证明出EF⊥AE；

（2）如图2，先根据三角形外角的性质得出∠1=∠ABC-∠AEB，∠F=∠BCD-∠CEF，由∠ABC=∠BCD，∠AEB=∠CEF，得到∠1=∠F，再由角平分线定义得出∠1=∠2，等量代换得到∠F=∠2．由平角的定义得出∠2+∠EAD=180°，那么∠F+∠EAD=180°，再根据四边形内角和定理求出∠AEF+∠D=360°-（∠F+∠EAD）=180°，进而得到∠AEF=90°，由垂直的定义得出EF⊥AE．

（1）证明：如图1，∵∠BAE=180°-∠B-∠AEB，∠EFC=180°-∠C-∠CEF，

∠B=∠C，∠AEB=∠CEF，

∴∠BAE=∠EFC，

∵AE平分∠BAD，

∴∠BAE=∠DAE，

∴∠EFC=∠DAE．

∵∠EFC+∠EFD=180°，

∴∠DAE+∠EFD=180°，

∴∠AEF+∠D=360°-（∠DAE+∠EFD）=180°，

∵∠D=90°，

∴∠AEF=90°，

∴EF⊥AE；

（2）解：如图2，若AE平分∠BAD的外角，其余条件不变，（1）中结论没有变化．理由如下：

∵∠1=∠ABC-∠AEB，∠F=∠BCD-∠CEF，

∠ABC=∠BCD，∠AEB=∠CEF，

∴∠1=∠F，

∵AE平分∠BAD的外角，

∴∠1=∠2，

∴∠F=∠2．

∵∠2+∠EAD=180°，

∴∠F+∠EAD=180°，

∴∠AEF+∠D=360°-（∠F+∠EAD）=180°，

∵∠D=90°，

∴∠AEF=90°，

∴EF⊥AE．