Question

【题目】如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，若B，D，E在同一直线上，连接AE．

（1）请你在图中找出一个与△AEC全等的三角形：；
（2）∠AEB的度数为；CE，AE，BE的数量关系为 ．
（3）如图2，△ACB是等腰直角三角形，∠AEB=90°，连接CE，过点C作CD⊥CE，交BE于点D，试探究CE，AE，BE的数量关系，并说明理由．

（4）如图3，在正方形ABCD中，CD=5 ，点P为正方形ABCD外一点，∠APC=90°，且AP=6，试求点P到CD的距离．

Answer 1

【答案】
（1）△BDC
（2）60°；CE+AE=BE
（3）

解：∵CD⊥CE，∠ACB=90°，

∴∠ECA=∠DCB，

∵∠AEB=90°，∠ACB=90°，

∴A、E、C、B四点共圆，

∴∠EAC=∠DBC，

在△AEC和△BDC中，

，

∴△AEC≌△BDC，

∴AE=BD，CE=CD，

∴△ECD是等腰直角三角形，

∴ED= CE，

∴BE=DE+BD= CE+AE

（4）

解：当点P在AD上方时，连接AC、PD，作PH⊥CD交AD的延长线于H，

∵AD=5 ，

∴AC=10，

则PC= =8，

由拓展探究可知，PD= = ，

∵PH∥AD，

∴∠DPH=∠ADP，

∴∠DPH=∠ACP，

∴PH=PD× = ；

当点P在AB的左侧时，同理PH= ．

【解析】解：（1）△AEC≌△BDC，
证明：∵△ACB和△DCE均为等边三角形，
∴∠ECD=∠ACB=60°，
∴∠ECA=∠DCB，
在△AEC和△BDC中，
，
∴△AEC≌△BDC，
所以答案是：△BDC；
⑵∠CDB=180°﹣∠CDE=120°，
∵△AEC≌△BDC，
∴∠AEC=∠CDB=120°，AE=BD，
∴∠AEB=60°，
BE=DE+BD=CE+AE；
所以答案是：60°；CE+AE=BE；