Question

【题目】如图，中，，连接，将绕点旋转，当（即）与交于一点，（即）与交于一点时，给出以下结论：①；②；③；④的周长的最小值是.其中正确的是( )

A. ①②③B. ①②④C. ②③④D. ①③④

Answer 1

【答案】B

【解析】

根据题意可证△ABE≌△BDF，可判断①②③，由△DEF的周长=DE+DF+EF=AD+EF=4+EF，则当EF最小时△DEF的周长最小，根据垂线段最短，可得BE⊥AD时，BE最小，即EF最小，即可求此时△BDE周长最小值．

解：∵AB=BC=CD=AD=4，∠A=∠C=60°
∴△ABD，△BCD为等边三角形，
∴∠A=∠BDC=60°，
∵将△BCD绕点B旋转到△BC'D'位置，
∴∠ABD'=∠DBC'，且AB=BD，∠A=∠DBC'，
∴△ABE≌△BFD，
∴AE=DF，BE=BF，∠AEB=∠BFD，
∴∠BED+∠BFD=180°，
故①正确，③错误；
∵∠ABD=60°，∠ABE=∠DBF，
∴∠EBF=60°，
故②正确
∵△DEF的周长=DE+DF+EF=AD+EF=4+EF，
∴当EF最小时，∵△DEF的周长最小．
∵∠EBF=60°，BE=BF，
∴△BEF是等边三角形，
∴EF=BE，
∴当BE⊥AD时，BE长度最小，即EF长度最小，
∵AB=4，∠A=60°，BE⊥AD，

∴EB=，

∴△DEF的周长最小值为4+，
故④正确，

综上所述：①②④说法正确，
故选：B．