Question

【题目】如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠D=90°，AC⊥BC，AB=10cm，BC=6cm，F点以2cm/秒的速度在线段AB上由A向B匀速运动，E点同时以1cm/秒的速度在线段BC上由B向C匀速运动，设运动时间为t秒（0＜t＜5）．

（1）求证：△ACD∽△BAC；

（2）求DC的长；

（3）设四边形AFEC的面积为y，求y关于t的函数关系式，并求出y的最小值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）6.4cm（3）当t=时，y的最小值为19

【解析】试题分析：（1）由CD∥AB，得∠DCA=∠CAB，加上一组直角，即可证得所求的三角形相似；

（2）在Rt△ABC中，由勾股定理可求得AC的长，根据（1）题所得相似三角形的比例线段，即可求出DC的长；

（3）分析图象可知：四边形AFEC的面积可由△ABC、△BEF的面积差求得，分别求出两者的面积，即可得到y、t的函数关系式，进而可根据函数的性质及自变量的取值范围求出y的最小值．

（1）∵CD∥AB

∴∠BAC=∠DCA

又∵AC⊥BC，∠ACB=90o

∴∠D="∠ACB=" 90o

∴△ACD∽△BAC；

（2）

∵△ACD∽△BAC

∴，即，解得：

（3）过点E作AB的垂线，垂足为G，

∴△ACB∽△EGB

∴即，解得

==

故当t=时，y的最小值为19