Question

【题目】如图1,在和中, ,, .

(1)若三点在同一直线上,连接交于点,求证: .

(2)在第(1)问的条件下,求证: ；

(3)将绕点顺时针旋转得到图2,那么第(2)问中的结论是否依然成立?若成立,请证明你的结论:若不成立,请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）成立，理由见解析

【解析】

（1）根据SAS得出△BAD≌△CAE；

（2）根据△BAD≌△CAE，得出∠ABD=∠ACE，根据直角三角形两锐角互余和对顶角相等即可得出答案；

（3）延长BD交CE于点M，交AC于点F．根据SAS证明ΔBAD≌ΔCAE，得出∠ABD=∠ACE，根据直角三角形两锐角互余和对顶角相等即可得出答案．

（1）∵∠BAC=∠DAE=90°，

∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，

即∠BAD=∠CAE．

∵AB=AC，AD=AE，

∴ΔBAD≌ΔCAE．

（2）∵ΔBAD≌ΔCAE，

∴∠ABD=∠ACE．

∵∠BAC=90°，

∴∠ABD+∠AFB=90°．

∵∠AFB=∠CFD，

∴∠ACE+∠CFD=90°，

∴∠CDF=90°，

∴BD⊥CE．

（3）成立．理由如下：

延长BD交CE于点M，交AC于点F．

∵∠BAC=∠DAE=90°，

∴∠BAC-∠CAD=∠DAE-∠CAD，

即∠BAD=∠CAE．

∵AB=AC，AD=AE，

∴ΔBAD≌ΔCAE，

∴∠ABD=∠ACE．

∵∠BAC=90°，

∴∠ABD+∠AFB=90°．

∵∠AFB=∠CFM，

∴∠CMF=90°，

∴BD⊥CE．