Question

【题目】平面内，如图，在ABCD中，AB=10，AD=15，tanA= ，点P为AD边上任意点，连接PB，将PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ．

（1）当∠DPQ=10°时，求∠APB的大小；
（2）当tan∠ABP：tanA=3：2时，求点Q与点B间的距离（结果保留根号）；
（3）若点Q恰好落在ABCD的边所在的直线上，直接写出PB旋转到PQ所扫过的面积．（结果保留π）

Answer 1

【答案】
（1）

解：如图1中，

①当点Q在平行四边形ABCD内时，∠AP′B=180°﹣∠Q′P′B﹣∠Q′P′D=180°﹣90°﹣10°=80°，

②当点Q在平行四边形ABCD外时，∠APB=180°﹣（∠QPB﹣∠QPD）=180°﹣（90°﹣10°）=100°，

综上所述，当∠DPQ=10°时，∠APB的值为80°或100°

（2）

解：如图2中，连接BQ，作PE⊥AB于E．

∵tan∠ABP：tanA=3：2，tanA= ，

∴tan∠ABP=2，

在Rt△APE中，tanA= = ，设PE=4k，则AE=3k，

在Rt△PBE中，tan∠ABP= =2，

∴EB=2k，

∴AB=5k=10，

∴k=2，

∴PE=8，EB=4，

∴PB= =4 ，

∵△BPQ是等腰直角三角形，

∴BQ= PB=4

（3）

解：①如图3中，当点Q落在直线BC上时，作BE⊥AD于E，PF⊥BC于F．则四边形BEPF是矩形．

在Rt△AEB中，∵tanA= = ，∵AB=10，

∴BE=8，AE=6，

∴PF=BE=8，

∵△BPQ是等腰直角三角形，PF⊥BQ，

∴PF=BF=FQ=8，

∴PB=PQ=8 ，

∴PB旋转到PQ所扫过的面积= =32π．

②如图4中，当点Q落在CD上时，作BE⊥AD于E，QF⊥AD交AD的延长线于F．设PE=x．

易证△PBE≌△QPF，

∴PE=QF=x，EB=PF=8，

∴DF=AE+PE+PF﹣AD=x﹣1，

∵CD∥AB，

∴∠FDQ=∠A，

∴tan∠FDQ=tanA= = ，

∴ = ，

∴x=4，

∴PE=4， =4 ，

在Rt△PEB中，PB=， =4 ，

∴PB旋转到PQ所扫过的面积= =20π

③如图5中，

当点Q落在AD上时，易知PB=PQ=8，

∴PB旋转到PQ所扫过的面积= =16π，

综上所述，PB旋转到PQ所扫过的面积为32π或20π或16π

【解析】（1）分两种情形①当点Q在平行四边形ABCD内时，②当点Q在平行四边形ABCD外时，分别求解即可；（2）如图2中，连接BQ，作PE⊥AB于E．在Rt△APE中，tanA= = ，设PE=4k，则AE=3k，在Rt△PBE中，tan∠ABP= =2，推出EB=2k，推出AB=5k=10，可得k=2，由此即可解决问题；（3）分三种情形分别求解即可；
【考点精析】通过灵活运用平行四边形的性质和解直角三角形，掌握平行四边形的对边相等且平行；平行四边形的对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分；解直角三角形的依据：①边的关系a2+b2=c2；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义．(注意：尽量避免使用中间数据和除法)即可以解答此题．